As seguintes funções são transformações lineares?
B in Mn times n fixa e T: Mn times n Mn times n tal que T(A)=A B-B A.

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
T:Mntimes ntoMntimes n
por
T(A)=A,B - B,A,
onde B é uma matriz fixa em Mntimes n.
O conteúdo é o de transformações lineares em espaços de matrizes; para mostrar que T é linear, precisamos verificar duas propriedades:
  1. aditividade: T(A+C)=T(A)+T(C).
  2. homogeneidade: T(lambda A)=lambda,T(A).

Passo 2

Verificação da aditividade. Sejam A,CinMntimes n. Então
T(A+C)=(A+C)B - B(A+C) =AB + CB - BA - BC =(AB-BA)+(CB-BC) =T(A)+T(C)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja lambdainK e AinMntimes n. Então
T(lambda A)=(lambda A)B - B(lambda A) =lambda,AB - lambda,BA =lambda,(AB-BA) =lambda,T(A)

Resposta

A aplicação T(A)=AB - BA satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é uma transformação linear.

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