As seguintes funções são transformações lineares?
T: R^2 M2 times 2 dada por T(x, y)=(ccx-y & 0 y & 10 x+3 y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon R^2 to M2times2, T(x,y) = x - y & 0 y & 10x + 3y
é uma transformação linear. Para isso, vamos usar a definição: T é linear se, para todo (x1,y1),(x2,y2)inR^2 e todo escalar c, valem
1) Tl((x1,y1)+(x2,y2)r)=T(x1,y1)+T(x2,y2) (aditividade)
2) Tl(c,(x,y)r)=c,T(x,y) (homogeneidade)

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja (x1,y1) e (x2,y2) em R^2. Então
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) = Tl(x1+x2,;y1+y2r) = (x1+x2)-(y1+y2) & 0 [6pt] y1+y2 & 10(x1+x2)+3(y1+y2)
Por outro lado,
T(x1,y1)+T(x2,y2) = x1-y1 & 0 y1 & 10x1+3y1 + x2-y2 & 0 y2 & 10x2+3y2 = (x1+x2)-(y1+y2) & 0 [4pt] y1+y2 & 10(x1+x2)+3(y1+y2)
As duas matrizes coincidem, logo Tl((x1,y1)+(x2,y2)r)=T(x1,y1)+T(x2,y2).]

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Para cinR e (x,y)inR^2,
Tl(c,(x,y)r) = T(cx,;cy) = cx - cy & 0 [4pt] cy & 10(cx)+3(cy) = c(x - y) & 0 [4pt] c,y & c,(10x + 3y) = c x - y & 0 y & 10x + 3y = c,T(x,y)
Portanto, T(c,(x,y))=c,T(x,y).]

Passo 4

Além de aditividade e homogeneidade, observamos que
T(0,0) = 0-0 & 0 0 & 10cdot0+3cdot0 = 0 & 0 0 & 0,
o que confirma que o vetor zero de R^2 vai para a matriz zero. Com isso, satisfação das duas propriedades da linearidade implica que T é de fato uma transformação linear.

Resposta

Sim, T é uma transformação linear.

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