Sejam
e
. Defina
por:
Mostre que
é uma transformação linear se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado define
com
Queremos mostrar que
satisfaz
para todo
e todo escalar
se, e somente se,
.
Passo 2
Lembrando que soma e escalar em
operam componente a componente,
é linear exatamente quando cada componente
é linear, i.e.:
-
(aditividade). -
(homogeneidade).
Passo 3
Suponha que
seja linear. Olhemos a
. Em geral
Mas
Logo
Para que a aditividade
valha para todos os
, é preciso anular o fator
. Por exemplo, se escolhemos
tais que
e
, o termo cruzado vale
. Assim necessariamente
Passo 4
Agora olhemos
. Para
quaisquer,
Como a integral é linear, o excesso vem de
em geral. A condição
exige
para todo
. Tomando, por exemplo,
, temos
e
, daí o colchete vale
. Logo
Passo 5
Recapitulando, a aditividade força
e
.
Recíproco: se , então
Recíproco: se
e essas são combinações lineares de avaliação, derivação e integral, todas lineares. Logo
é linear.