Sejam alpha1 e alpha2 in R. Defina T: P(R) R^2 por:
T(p)=(3 p(4)+5 p^prime(6)+alpha1 p(1) p(2), integral2^3 x^3 p(x), d x+alpha2 sin (p(0)))
Mostre que T é uma transformação linear se, e somente se, alpha1=alpha2=0.

Passo 1

O enunciado define
Tcolon P(Bbb R)toBbb R^2,
T(p)=l(T1(p),,T2(p)r),
com
T1(p)=3,p(4)+5,p'(6)+alpha1,p(1),p(2),
T2(p)=integral2^3x^3,p(x),dx+alpha2,sinl(p(0)r)
Queremos mostrar que T satisfaz
T(p+q)=T(p)+T(q), T(c,p)=c,T(p)
para todo p,q e todo escalar c se, e somente se, alpha1=alpha2=0.

Passo 2

Lembrando que soma e escalar em Bbb R^2 operam componente a componente, T é linear exatamente quando cada componente Ti é linear, i.e.:
  1. Ti(p+q)=Ti(p)+Ti(q) (aditividade).
  2. Ti(c,p)=c,Ti(p) (homogeneidade).

Passo 3

Suponha que T seja linear. Olhemos a T1. Em geral
T1(p+q)=3(p+q)(4)+5(p+q)'(6)+alpha1,(p+q)(1),(p+q)(2)
Mas
3(p+q)(4)+5(p+q)'(6) =3p(4)+5p'(6)+3q(4)+5q'(6) =T1(p)-alpha1,p(1)p(2)+T1(q)-alpha1,q(1)q(2)
Logo
T1(p+q)=T1(p)+T1(q) +alpha1l[p(1)q(2)+q(1)p(2)r]
Para que a aditividade T1(p+q)=T1(p)+T1(q) valha para todos os p,q, é preciso anular o fator alpha1. Por exemplo, se escolhemos p,q tais que p(1)=1,p(2)=0 e q(1)=0,q(2)=1, o termo cruzado vale 1. Assim necessariamente
alpha1=0

Passo 4

Agora olhemos T2. Para p,q quaisquer,
T2(p+q) =integral2^3 x^3l(p(x)+q(x)r),dx +alpha2sinl(p(0)+q(0)r)
Como a integral é linear, o excesso vem de
sinl(p(0)+q(0)r) neqsinl(p(0)r)+sinl(q(0)r)
em geral. A condição T2(p+q)=T2(p)+T2(q) exige
alpha2l[sinl(p(0)+q(0)r) -sinl(p(0)r)-sinl(q(0)r)r]=0
para todo p,q. Tomando, por exemplo, p(0)=q(0)=tfracpi2, temos
sin(pi)=0 e sin(tfracpi2)=1, daí o colchete vale -2. Logo
alpha2=0

Passo 5

Recapitulando, a aditividade força alpha1=0 e alpha2=0.
Recíproco: se alpha1=alpha2=0, então
T1(p)=3,p(4)+5,p'(6), T2(p)=integral2^3x^3,p(x),dx,
e essas são combinações lineares de avaliação, derivação e integral, todas lineares. Logo T é linear.

Resposta

T é linear se, e somente se, alpha1=0 e alpha2=0.

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