As seguintes funções são transformações lineares?
é infinitamente diferenciável
e
tal que
.
Passo 1
O enunciado define o espaço
das funções
de
em
e a aplicação
Para que
seja transformação linear, ela precisa satisfazer duas propriedades para quaisquer
e todo escalar
:
- Aditividade:
. - Homogeneidade:
.
Passo 2
Verificando a aditividade, escolhemos um contraexemplo simples. Seja
Então
e
Por outro lado,
logo
Isso mostra que a aditividade falha.
Passo 3
Podemos também ver a falha da homogeneidade. Tome
Então
e
de modo que
Ou seja, não satisfaz homogeneidade.
Resposta
A aplicação
não é linear, pois não verifica nem aditividade nem homogeneidade.