As seguintes funções são transformações lineares?
S(R)=f: R R: f é infinitamente diferenciável e T: S(R) S(R) tal que T(f)=(f^prime)^2.

Passo 1

O enunciado define o espaço S(R) das funções C^infty de R em R e a aplicação
Tcolon S(R)toS(R), T(f) = l(f'r)^2
Para que T seja transformação linear, ela precisa satisfazer duas propriedades para quaisquer f,ginS(R) e todo escalar cinR:
  1. Aditividade: T(f+g)=T(f)+T(g).
  2. Homogeneidade: T(c,f)=c,T(f).

Passo 2

Verificando a aditividade, escolhemos um contraexemplo simples. Seja
f(x)=x, g(x)=x
Então
(f+g)(x)=2x, (f+g)'(x)=2,
e
T(f+g)(x)=l((f+g)'(x)r)^2 = 2^2 = 4
Por outro lado,
T(f)(x)=l(f'(x)r)^2 = 1^2 =1, T(g)(x)=1,
logo
T(f)(x)+T(g)(x)=1+1=2neq 4 = T(f+g)(x)
Isso mostra que a aditividade falha.

Passo 3

Podemos também ver a falha da homogeneidade. Tome
f(x)=x, c=2
Então
(cf)'(x) = (2x)' =2,
e
T(c,f)(x)=2^2=4, c,T(f)(x)=2cdot 1 =2,
de modo que
T(c,f)neq c,T(f)
Ou seja, não satisfaz homogeneidade.

Resposta

A aplicação T(f)=(f')^2 não é linear, pois não verifica nem aditividade nem homogeneidade.

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