1. Seja vee o espaço vetorial de matrizes simétricas 2 times 2 sobre R. Mostre que dim V=3. OBS: Recorde que A=(ai j) é simétrica se e somente se A=A^t, isto é, se ai j=aj i.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do espaço vetorial V de matrizes simétricas 2times2 sobre R. Para isso, precisamos encontrar um conjunto de matrizes que forme base de V (ou seja, que seja linearmente independente e que gere todo V) e contar quantos vetores há nessa base.

Passo 2

Observe que uma matriz 2times 2 simétrica tem a forma
A = a & b [6pt] b & c,
com a,b,cinR. Logo, qualquer elemento de V é determinado por três parâmetros reais a, b e c.

Passo 3

Vamos propor as matrizes
E1 = 1 & 0 [3pt] 0 & 0, E2 = 0 & 1 [3pt] 1 & 0, E3 = 0 & 0 [3pt] 0 & 1
Dada uma matriz genérica A acima, vemos que
A = a,E1 + b,E2 + c,E3
Isso mostra que E1,E2,E3 gera todo V.

Passo 4

Para ver que E1,E2,E3 é linearmente independente, suponha
alpha,E1 + beta,E2 + gamma,E3 = 0
Então a matriz resultante é
alpha & beta [3pt] beta & gamma = 0 & 0 [3pt] 0 & 0,
o que força alpha=0, beta=0 e gamma=0. Logo é independente.

Resposta

Como encontramos três vetores que geram V e são independentes, temos
dim V = 3

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