- Seja
o espaço vetorial de matrizes simétricas
sobre
. Mostre que
. OBS: Recorde que
é simétrica se e somente se
, isto é, se
.
Passo 1
O enunciado pede a dimensão do espaço vetorial
de matrizes simétricas
sobre
. Para isso, precisamos encontrar um conjunto de matrizes que forme base de
(ou seja, que seja linearmente independente e que gere todo
) e contar quantos vetores há nessa base.
Passo 2
Observe que uma matriz
simétrica tem a forma
com
. Logo, qualquer elemento de
é determinado por três parâmetros reais
,
e
.
Passo 3
Vamos propor as matrizes
Dada uma matriz genérica
acima, vemos que
Isso mostra que
gera todo
.
Passo 4
Para ver que
é linearmente independente, suponha
Então a matriz resultante é
o que força
,
e
. Logo é independente.
Resposta
Como encontramos três vetores que geram
e são independentes, temos