Quais das seguintes integrais são impróprias? Justifique.
integral2^3 1raizx-1

Passo 1

O enunciado pede para identificar se a integral
integral2^3 1raizx-1 , dx
é imprópria. Lembrando que uma integral é dita imprópria se o intervalo de integração for infinito ou se o integrando se tornar não limitado (singular) em algum ponto do intervalo.

Passo 2

Estudamos o integrando tfrac1raizx-1. Seu domínio natural é x>1. No intervalo de integração temos
2 <= x <= 3
logo x-1 >= 1>0. Isso garante que raizx-1 é sempre positivo e finito em todo o intervalo, e portanto tfrac1raizx-1 é contínuo e limitado em [2,3].

Passo 3

Como o intervalo de integração é finito e o integrando não apresenta descontinuidades nem singularidades em [2,3], concluímos que a integral é própria.

Resposta

A integral integral2^3 1raizx-1,dx é própria, logo não é imprópria.

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