Quais das seguintes integrais são impróprias? Justifique sua resposta!
(a) integral1^4 d xx-3.
(b) integral3^infty d xx^2-4.
(c) integral0^4 d xx-5.
(d) integral-1^3 d xx+x^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, em cada uma das quatro integrais dadas, se elas são impróprias. O conteúdo aqui é o de integrais impróprias, que ocorrem quando ou o intervalo de integração é ilimitado (vai até ±∞) ou o integrando tem descontinuidade (vertical) em algum ponto do intervalo. Para resolver, vamos checar singularidades de f(x) e limites infinitos.

Passo 2

Para (a) integral1^4 dxx-3: o integrando f(x)=1/(x-3) tem descontinuidade em x=3, que pertence ao intervalo [1,4]. Logo há uma assíntota vertical em x=3, o que torna a integral imprópria.

Passo 3

Para (b) integral3^infty dxx^2-4: o integrando 1/(x^2-4) é contínuo em [3,infty) (pois x^2-4neq0 para x>=3), mas o intervalo de integração é ilimitado (vai até +infty). Portanto é imprópria por causa do limite infinito.

Passo 4

Para (c) integral0^4 dxx-5: o integrando 1/(x-5) só tem descontinuidade em x=5, que fica fora do intervalo [0,4], e o intervalo é finito. Logo não há nenhuma condição de impropriedade, e a integral é própria.

Passo 5

Para (d) integral-1^3 dxx+x^3: note que x+x^3 = x(1+x^2) se anula em x=0, que está dentro de [-1,3]. Isso cria uma descontinuidade (assíntota vertical) em x=0, logo a integral é imprópria.

Resposta

As integrais impróprias são (a), (b) e (d). A integral (c) é própria.

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