Quais das seguintes integrais são impróprias? Justifique sua resposta!
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para verificar, em cada uma das quatro integrais dadas, se elas são impróprias. O conteúdo aqui é o de integrais impróprias, que ocorrem quando ou o intervalo de integração é ilimitado (vai até ±∞) ou o integrando tem descontinuidade (vertical) em algum ponto do intervalo. Para resolver, vamos checar singularidades de
e limites infinitos.
Passo 2
Para (a)
: o integrando
tem descontinuidade em
, que pertence ao intervalo
. Logo há uma assíntota vertical em
, o que torna a integral imprópria.
Passo 3
Para (b)
: o integrando
é contínuo em
(pois
para
), mas o intervalo de integração é ilimitado (vai até
). Portanto é imprópria por causa do limite infinito.
Passo 4
Para (c)
: o integrando
só tem descontinuidade em
, que fica fora do intervalo
, e o intervalo é finito. Logo não há nenhuma condição de impropriedade, e a integral é própria.
Passo 5
Para (d)
: note que
se anula em
, que está dentro de
. Isso cria uma descontinuidade (assíntota vertical) em
, logo a integral é imprópria.
Resposta
As integrais impróprias são (a), (b) e (d). A integral (c) é própria.