Verifique que a função
z=cl 2 x yx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) ; 0, & se (x, y)=(0,0)
é contínua com relação a cada variável x e y separadamente, porém não é contínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= 2xyx^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
e pede para mostrar que ela é contínua em cada variável separadamente, mas não é contínua em (0,0). Vamos usar os conceitos de continuidade de funções de uma variável (razão de polinômios e funções constantes) e de limites pelo caminho em duas variáveis.

Passo 2

Para verificar a continuidade em x fixando y=y0, definimos
g(x)=f(x,y0)
Caso y0neq0, temos
g(x)=2x,y0x^2+y0^2,
que é quociente de polinômios com denominador nunca nulo ( x^2+y0^2>= y0^2>0), logo g é contínua para todo x. Se y0=0, então
g(x)=f(x,0)=0
é função constante, e constantes são contínuas. Concluímos que f é contínua em x para qualquer y0 fixo.

Passo 3

De modo análogo, para verificar a continuidade em y fixando x=x0, definimos
h(y)=f(x0,y)
Se x0neq0, então
h(y)=2x0,yx0^2+y^2
é quociente de polinômios com denominador nunca nulo, logo contínua. Se x0=0, então
h(y)=f(0,y)=0
é constante. Assim, f é contínua em y para qualquer x0 fixo.

Passo 4

Para ver que f não é contínua em (0,0), examinamos o limite pelo caminho y=x. Se xneq0,
f(x,x)=2xcdot xx^2+x^2 =2x^22x^2=1
Logo
limxto0f(x,x)=1neq0=f(0,0)
Isso mostra que o limite em duas variáveis ao se aproximar de (0,0) depende do caminho e não coincide com f(0,0).

Resposta

A função é contínua em cada variável separadamente, mas não é contínua em (0,0).

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