2- (i) Verifique que a equação não é exata.
(ii) Encontre um fator integrante mu(x) para a equação.
(iii) Resolva esta “nova” equação exata.
a) (3 x^2 y+2 x y+y^3) d x+(x^2+y^2) d y=0
b) (3 x y+y^2) d x+(x^2+x y) d y=0

Passo 1

Resumindo: temos duas equações diferenciais da forma ,M(x,y),dx+N(x,y),dy=0. Para cada uma, vamos
  1. verificar se é exata calculando partial M/partial y e partial N/partial x,
  2. encontrar um fator integrante mu(x) quando possível,
  3. resolver a equação exata resultante integrando para obter uma função potencial phi(x,y)=constante.

Passo 2

Para a)
M(x,y)=3x^2y+2xy+y^3, N(x,y)=x^2+y^2
Calculamos
partial Mpartial y=3x^2+2x+3y^2, partial Npartial x=2x,
que não coincidem, logo não é exata. Em seguida testamos
partial M/partial y-partial N/partial xN =(3x^2+2x+3y^2)-2xx^2+y^2 =3(x^2+y^2)x^2+y^2=3,
que é função só de x. Portanto
mu(x)=e^integral 3,dx=e^3x

Passo 3

Multiplicando a eq. de a) por mu(x) obtemos a forma exata
M^*=e^3x(3x^2y+2xy+y^3), N^*=e^3x(x^2+y^2)
Procuramos phi tal que partialphi/partial x=M^*. Integrando em x:
phi(x,y) =integral e^3x(3x^2y+2xy+y^3),dx =e^3xl(x^2y+y^33r)+h(y)
Impondo partialphi/partial y=N^* resulta h'(y)=0. Logo a solução implícita é
e^3xl(x^2y+tfracy^33r)=C

Passo 4

Para b)
M(x,y)=3xy+y^2, N(x,y)=x^2+xy
Calculamos
partial Mpartial y=3x+2y, partial Npartial x=2x+y,
que são diferentes, logo não exata. Testamos
partial M/partial y-partial N/partial xN =(3x+2y)-(2x+y)x^2+xy =x+yx(x+y)=1x,
função só de x. Então
mu(x)=e^integral1x,dx=x

Passo 5

Multiplicando a eq. de b) por mu(x)=x fica exata:
M^*=3x^2y+xy^2, N^*=x^3+x^2y,
pois partial M^*/partial y=partial N^*/partial x=3x^2+2xy. Integramos em x:
phi(x,y) =integral(3x^2y+xy^2),dx =x^3y+x^2y^22+k(y)
Impondo partialphi/partial y=N^* k'(y)=0. A solução implícita é
x^3y+x^2y^22=C

Resposta

a) mu(x)=e^3x e solução
e^3xl(x^2y+tfracy^33r)=C
b) mu(x)=x e solução
x^3y+x^2y^22=C

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