2- (i) Verifique que a equação não é exata.
(ii) Encontre um fator integrante
para a equação.
(iii) Resolva esta “nova” equação exata.
a)
b)
(ii) Encontre um fator integrante
(iii) Resolva esta “nova” equação exata.
a)
b)
Passo 1
Resumindo: temos duas equações diferenciais da forma
. Para cada uma, vamos
- verificar se é exata calculando
e , - encontrar um fator integrante
quando possível, - resolver a equação exata resultante integrando para obter uma função potencial
.
Passo 2
Para a)
Calculamos
que não coincidem, logo não é exata. Em seguida testamos
que é função só de
. Portanto
Passo 3
Multiplicando a eq. de a) por
obtemos a forma exata
Procuramos
tal que
. Integrando em
:
Impondo
resulta
. Logo a solução implícita é
Passo 4
Para b)
Calculamos
que são diferentes, logo não exata. Testamos
função só de
. Então
Passo 5
Multiplicando a eq. de b) por
fica exata:
pois
. Integramos em
:
Impondo
dá
. A solução implícita é
Resposta
a)
e solução
b)
e solução