Para as seguintes matrizes no espaço de matrize reais Mn times n(R) respectivo, ache o polinômio característico, todos os autovalores e uma base para cada autoespaço.
A=[ccc2 & -1 & 3 1 & 1 & -1 1 & -2 & 4]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 2 & -1 & 3 1 & 1 & -1 1 & -2 & 4
e pede: o polinômio característico, os autovalores e uma base para cada autoespaço.
Conteúdo: cálculo de det(A-lambda I), fatoração de polinômio e resolução de sistemas lineares homogêneos para encontrar autovetores.

Passo 2

Para obter o polinômio característico montamos
A - lambda I = 2-lambda & -1 & 3 1 & 1-lambda & -1 1 & -2 & 4-lambda
e calculamos
det(A-lambda I) = (2-lambda)det1-lambda & -1-2 & 4-lambda -(-1)det1 & -11 & 4-lambda +3det1 & 1-lambda1 & -2
Os menores valem
det1-lambda & -1-2 & 4-lambda =(1-lambda)(4-lambda)-2 =lambda^2-5lambda+2,
det1 & -11 & 4-lambda =(4-lambda)+1=5-lambda,
det1 & 1-lambda1 & -2 =-2-(1-lambda)=lambda-3
Logo
det(A-lambda I) =(2-lambda)(lambda^2-5lambda+2)+(5-lambda)+3(lambda-3) =-lambda^3+7lambda^2-10lambda =-lambda(lambda-2)(lambda-5)

Passo 3

Os autovalores são as raízes de det(A-lambda I)=0, ou seja
lambda1=0, lambda2=2, lambda3=5

Passo 4

Para
Da segunda equação e daí . Um gerador é
logo uma base do autoespaço é .

Passo 5

Para resolvemos , i.e.
Da primeira equação . Da segunda . Um gerador é
logo base do autoespaço é .

Passo 6

Para resolvemos , i.e.
Da primeira equação . Da segunda chega-se a e então . Um gerador é
logo base do autoespaço é .

Resposta

Polinômio característico:
chiA(lambda)=det(A-lambda I)=-lambda(lambda-2)(lambda-5)
Autovalores: lambda=0,2,5.
Bases dos autoespaços:
lambda=0colon(-2,5,3),
lambda=2colon(4,3,1),
lambda=5colon(1,0,1).

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