Para as seguintes matrizes no espaço de matrizes Mn times n(C), ache o polinômio característico, todos os autovalores e uma base para cada autoespaço.
A=[lll1 & -3 & 3 3 & -5 & 3 6 & -6 & 4]

Passo 1

O enunciado pede, para a matriz
A = 1 & -3 & 3 3 & -5 & 3 6 & -6 & 4 ,
no espaço M3times3(C), que a gente determine:
  1. O polinômio característico p(lambda).
  2. Todos os autovalores.
  3. Uma base para cada autoespaço.
    Vamos usar a definição
p(lambda)=det(A-lambda I),
fatorar p(lambda) para achar os autovalores e resolver (A-lambda I)x=0 para cada valor de lambda.

Passo 2

Calculemos
A-lambda I = 1-lambda & -3 & 3 3 & -5-lambda & 3 6 & -6 & 4-lambda
e seu determinante por expansão na primeira linha:
det(A-lambda I) &=(1-lambda)det!-5-lambda&3-6&4-lambda -(-3)det!3&36&4-lambda +3det!3&-5-lambda6&-6 &=(1-lambda)l[( -5-lambda)(4-lambda)-3(-6)r] +3l[3(4-lambda)-3cdot6r] +3l[3(-6)-6(-5-lambda)r]
Expandindo:
( -5-lambda)(4-lambda)=lambda^2+lambda-20, logo det(A-lambda I)=-lambda^3+12lambda+16
Multiplicando por -1 para a forma usual, obtemos
p(lambda)=lambda^3-12lambda-16

Passo 3

Fatoramos p(lambda). Testando lambda=4:
4^3-12cdot4-16=64-48-16=0,
logo lambda=4 é raiz. Fazendo a divisão sintética de lambda^3-12lambda-16 por (lambda-4) obtemos
p(lambda)=(lambda-4)(lambda^2+4lambda+4)=(lambda-4)(lambda+2)^2
Portanto os autovalores são
lambda1=4 e lambda2=-2 (com mu<iplicidade algébrica 2) é

Passo 4

Autoespaço em
Das linhas reduzimos ao sistema
que leva a . Tomando parâmetro , um vetor genérico é
Uma base para o autoespaço de é

Passo 5

Autoespaço em lambda=-2: resolvemos (A+2I)x=0,
A+2I=3&-3&33&-3&36&-6&6,
que reduz ao único pivô
3x1-3x2+3x3=0 ;Long<=ftrightarrow; x1 - x2 + x3=0
Dando parâmetro s=x2 e t=x3, vem x1=s-t. Assim
(x1,x2,x3)=(s-t,s,t)=s,(1,1,0)+t,(-1,0,1)
Uma base para o autoespaço de lambda=-2 é
(1,1,0),,(-1,0,1)

Resposta

Polinômio característico:
p(lambda)=lambda^3-12lambda-16=(lambda-4)(lambda+2)^2
Autovalores e bases dos autoespaços:
lambda=4, E4=span(1,1,2),
lambda=-2, E-2=span(1,1,0),,(-1,0,1)

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