Para as seguintes matrizes no espaço de matrizes
, ache o polinômio característico, todos os autovalores e uma base para cada autoespaço.
Passo 1
O enunciado pede, para a matriz
no espaço
M3times3(C) , que a gente determine:
- O polinômio característico
.p(lambda) - Todos os autovalores.
- Uma base para cada autoespaço.
Vamos usar a definição
fatorar
p(lambda) para achar os autovalores e resolver
(A-lambda I)x=0 para cada valor de
lambda .
Passo 2
Calculemos
e seu determinante por expansão na primeira linha:
Expandindo:
Multiplicando por
-1 para a forma usual, obtemos
Passo 3
Fatoramos
p(lambda) . Testando
lambda=4 :
logo
lambda=4 é raiz. Fazendo a divisão sintética de
lambda^3-12lambda-16 por
(lambda-4) obtemos
Portanto os autovalores são
Passo 4
Autoespaço em
Das linhas reduzimos ao sistema
que leva a . Tomando parâmetro
, um vetor genérico é
Uma base para o autoespaço de
é
Passo 5
Autoespaço em
lambda=-2 : resolvemos
(A+2I)x=0 ,
que reduz ao único pivô
Dando parâmetro
s=x2 e
t=x3 , vem
x1=s-t . Assim
Uma base para o autoespaço de
lambda=-2 é
Resposta
Polinômio característico:
Autovalores e bases dos autoespaços: