Quais das seguintes matrizes estão na forma linha degrau? Quais estão na forma linha degrau reduzida? \left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 6 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 3\end{array}\right]
Primeira pergunta: esta matriz está na forma linha degrau?
Segunda pergunta: esta matriz está na forma linha degrau reduzida?
As informações relevantes são apenas os elementos dessa matriz listados acima.]
Passo 2
Vamos relembrar, com calma e passo a passo, o que significa estar em forma linha degrau. Condições (cada uma deve valer para a matriz estar nessa forma):
Toda linha composta só por zeros (se houver) deve aparecer abaixo de qualquer linha não-nula.
Em cada linha não-nula, o primeiro elemento não-nulo (da esquerda para a direita) chama-se pivô dessa linha.
Os pivôs devem aparecer em colunas mais à direita conforme se desce nas linhas: se uma linha tem pivô em coluna j e a linha seguinte tem pivô em coluna k, então k>j.
Todas as entradas abaixo de um pivô devem ser zero.
Vou explicar termos simples:
“Linha não-nula” = linha que tem pelo menos um elemento diferente de zero.
“Pivô” = primeiro elemento não-nulo de uma linha, contando da esquerda.
A condição 3 é a que garante a aparência escalonada (tipo degrau) da matriz.
Passo 3
Vamos verificar cada linha da matriz A para localizar os pivôs e checar as condições da forma linha degrau.
Determinar o primeiro elemento não-nulo (pivô) de cada linha:
Na linha 1: o primeiro elemento não-nulo está na coluna 1 e vale 1.
Na linha 2: o primeiro elemento não-nulo está na coluna 3 e vale 1.
Na linha 3: o primeiro elemento não-nulo está na coluna 2 e vale 1.
Portanto os índices das colunas dos pivôs, de cima para baixo, são 1,\;3,\;2.
Agora aplicamos a condição 3 (os índices devem aumentar estritamente ao descer): aqui temos 1 então 3 e depois 2. Como 2 não é maior que 3, a condição falha. Além disso, cheque a condição 4 (zeros abaixo de cada pivô): o pivô da linha 2 está na coluna 3, mas a entrada abaixo (linha 3, coluna 3) é 3, que não é zero — essa condição também falha. Logo a matriz A não satisfaz as condições para estar em forma linha degrau.
Passo 4
Agora a definição de forma linha degrau reduzida (RREF), que acrescenta requisitos sobre a forma linha degrau:
Além das condições da forma linha degrau, para ser reduzida é preciso:
Cada pivô deve ser igual a 1.
Cada pivô deve ser o único elemento não-nulo em sua coluna (ou seja, todos os outros elementos nessa coluna, acima e abaixo do pivô, devem ser zero).
Essas condições garantem que, na coluna de um pivô, só exista um 1 e o resto zeros — o que facilita ler soluções de sistemas linear diretamente.
Passo 5
Verificação da condição de forma linha degrau reduzida na matriz A.
Primeiro, os pivôs que identificamos valem todos 1 (colunas 1,3,2 têm os primeiros não-nulos iguais a 1), então a condição "pivôs iguais a 1" está satisfeita quando olhamos isoladamente.
Mas a condição fundamental da forma reduzida exige zeros em toda a coluna do pivô, exceto no próprio pivô. Verifiquemos uma coluna de pivô problemática: o pivô que encontramos na linha 3 está na coluna 2. Nessa coluna, a entrada da linha 1 (acima do pivô) é 4, que não é zero. Portanto a coluna do pivô não tem zeros acima do pivô, violando a condição para ser reduzida. Além disso, como já vimos na Passo 3, a matriz nem mesmo está em forma linha degrau, requisito básico para depois ser reduzida.
Concluímos que A não está na forma linha degrau reduzida.
Passo 6
Para fixar a intuição (como aprender a fazer na prova), mostro rapidamente como se pode reorganizar e reduzir a matriz: isto ajuda a ver por que a ordem das linhas importa e o que é necessário para obter a forma degrau e a forma reduzida.
Trocar as linhas 2 e 3 (operação permitida) produz
Agora os pivôs estão nas colunas 1,2,3 (índices aumentam de cima para baixo), e todas as entradas abaixo de cada pivô são zero — ou seja, A_1 está em forma linha degrau. Isso mostra que embora a matriz original A não estivesse em forma degrau, ela é equivalente por operações elementares a uma que está.
Para obter a forma reduzida (RREF) a partir de A_1, eliminar os elementos acima de cada pivô:
Eliminar a coluna 3 acima do pivô em (linha 3): substituir linha 2 por \text{linha}_2-3\cdot\text{linha}_3 e linha 1 por \text{linha}_1-6\cdot\text{linha}_3. Isso dá
que é a forma linha degrau reduzida (RREF). Isso mostra o procedimento prático que se usa na prova: pivôs, trocas de linhas, e eliminação para obter RREF.
Importante: essas operações mostram que A é equivalente por operações de linha a uma matriz que está em forma degrau e reduzida, mas a pergunta original era se a matriz dada, exatamente como está, já está em uma dessas formas. A resposta a isso já foi verificada nos passos anteriores.]
Resposta
Nenhuma — a matriz dada não está na forma linha degrau.
Nenhuma — a matriz dada não está na forma linha degrau reduzida.