Quais das seguintes matrizes são elementares? Justifique.
\left[ cc-5 & 1 1 & 0\right]

Passo 1

O enunciado pede para identificar se a matriz
A = -5 & 1 1 & 0
é uma matriz elementar. O conteúdo é o de matrizes elementares, que são exatamente aquelas obtidas a partir da matriz identidade por uma única operação elementar de linha: troca de linhas, multiplicação de uma linha por escalar não nulo ou adição de múltiplo de uma linha a outra.

Passo 2

Uma matriz elementar E é obtida de I2 por um só dos seguintes tipos de operação:
  1. Trocar a linha 1 com a linha 2, gerando
E = 0 & 1 1 & 0
  1. Multiplicar a linha i por um escalar kneq0, gerando
E = k & 0 0 & 1 ou E = 1 & 0 0 & k
  1. Somar à linha i um múltiplo lambda da outra linha, gerando
E = 1 & lambda 0 & 1 ou E = 1 & 0 lambda & 1

Passo 3

Teste de troca de linhas (tipo 1):
E1 = 0 & 1 1 & 0
Claramente E1neq A, pois A11=-5neq0 e A22=0neq1.

Passo 4

Teste de multiplicação de uma linha por escalar (tipo 2):
k&00&1 ou 1&00&k.
Em qualquer um desses casos, uma das entradas fora da diagonal principal é zero, mas em A tanto A12=1 quanto A21=1 são não nulas. Logo não coincide com esse tipo.

Passo 5

Teste de adição de múltiplo de linha (tipo 3):
1&lambda0&1 ou 1&0lambda&1.
Nessas formas, todas as entradas da diagonal são 1, o que não ocorre em A (que tem -5 e 0 na diagonal). Portanto também não é desse tipo.

Resposta

A matriz -5&11&0 não é elementar, pois não pode ser obtida de I2 por uma única operação elementar de linha.

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