Quais das seguintes matrizes são elementares? Justifique.
\left[ lll0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais matrizes, dentre as dadas, são elementares. O conteúdo aqui é definição de matriz elementar e como reconhecê-la: uma matriz elementar em Mn(Bbb R) é exatamente aquela que se obtém de In aplicando uma única operação elementar de linha.

Passo 2

Lembremos os três tipos de operações elementares de linha em um sistema ntimes n:
  1. Trocar duas linhas Lirightarrow Lj.
  2. Multiplicar uma linha Li por um escalar lambdaneq0.
  3. Adicionar a uma linha Li um múltiplo lambda de outra linha Lj.
    Cada matriz elementar é o resultado de aplicar exatamente uma dessas operações à matriz identidade In.

Passo 3

Considere a matriz
E = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0
Começamos de
I3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Se trocarmos a linha 1 com a linha 3 em I3, obtemos
0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 = E
Isso mostra que E resulta de uma única operação do tipo “troca de linhas”.

Passo 4

Como E se obtém de I3 apenas trocando a linha 1 com a linha 3, ela é, por definição, uma matriz elementar (tipo “troca de linhas”).

Resposta

A matriz
0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0
é elementar, pois é exatamente a matriz que resulta de aplicar em I3 a operação elementar de linha “trocar L1 com L3”.

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