Quais das seguintes matrizes são elementares? Justifique.
\left[\right]
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais matrizes, dentre as dadas, são elementares. O conteúdo aqui é definição de matriz elementar e como reconhecê-la: uma matriz elementar em é exatamente aquela que se obtém de aplicando uma única operação elementar de linha.
Passo 2
Lembremos os três tipos de operações elementares de linha em um sistema :
Trocar duas linhas .
Multiplicar uma linha por um escalar .
Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha .
Cada matriz elementar é o resultado de aplicar exatamente uma dessas operações à matriz identidade .
Passo 3
Considere a matriz
Começamos de
I3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Se trocarmos a linha 1 com a linha 3 em I3, obtemos
0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 = E
Isso mostra que E resulta de uma única operação do tipo “troca de linhas”.
Passo 4
Como E se obtém de I3 apenas trocando a linha 1 com a linha 3, ela é, por definição, uma matriz elementar (tipo “troca de linhas”).
Resposta
A matriz
0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0
é elementar, pois é exatamente a matriz que resulta de aplicar em I3 a operação elementar de linha “trocar L1 com L3”.