Quais das seguintes matrizes são elementares? Justifique.
\left[ lll1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
e pede para verificar se ela é uma matriz elementar. Lembrando que matriz elementar é exatamente aquela que se obtém a partir da matriz identidade executando-se uma única operação elementar de linhas (troca de duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo ou somar a uma linha um múltiplo de outra).

Passo 2

Vamos usar a propriedade fundamental: toda matriz elementar é invertível, porque cada operação elementar de linhas tem uma operação inversa também elementar. Em particular, isso implica que o determinante de uma matriz elementar nunca pode ser zero.

Passo 3

Calculemos o determinante de A. Fazendo expansão pela primeira linha, temos:
det(A) =1cdotdet0 & 10 & 0 -1cdotdet0 & 10 & 0 +0cdot(dots) =1cdot(0cdot0 - 1cdot0)-1cdot(0cdot0-1cdot0) =0-0=0

Passo 4

Como det(A)=0, a matriz A é singular, ou seja, não é invertível. Logo, não pode ser obtida por uma única operação elementar a partir de I, pois isso geraria sempre uma matriz invertível.

Resposta

A matriz
1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
não é elementar.

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