Quais das seguintes matrizes são elementares? Justifique.
\left[\right]
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
e pede para verificar se ela é uma matriz elementar. Lembrando que matriz elementar é exatamente aquela que se obtém a partir da matriz identidade executando-se uma única operação elementar de linhas (troca de duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo ou somar a uma linha um múltiplo de outra).
Passo 2
Vamos usar a propriedade fundamental: toda matriz elementar é invertível, porque cada operação elementar de linhas tem uma operação inversa também elementar. Em particular, isso implica que o determinante de uma matriz elementar nunca pode ser zero.
Passo 3
Calculemos o determinante de A. Fazendo expansão pela primeira linha, temos:
Como det(A)=0, a matriz A é singular, ou seja, não é invertível. Logo, não pode ser obtida por uma única operação elementar a partir de I, pois isso geraria sempre uma matriz invertível.