Verdadeiro ou falso?
Se A B=B, então A=I.

Passo 1

O enunciado pergunta se em geral, para matrizes quadradas A e B, a igualdade
A B = B
implica que
A = I
O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais precisamente a lei de cancelamento em multiplicação de matrizes e o papel da invertibilidade.

Passo 2

Para ver que não basta AB=B para garantir A=I, basta escolher uma matriz B não invertível. Por exemplo, seja B a matriz zero (de mesma ordem que A), i.e.
B = 0
Então para qualquer matriz A vale
A,0 = 0 = B,
mas claramente não precisamos ter A=I. Em particular, se escolhermos
A = 0,
então AB = 0 = B e ainda assim Aneq I. Isso mostra que a afirmação é falsa.

Passo 3

De fato, só podemos “cancelar” B se B for invertível. Se B for invertível e AB=B, multiplica-se à direita por B^-1:
AB,B^-1 = B,B^-1 Longrightarrow A = I
Mas sem a hipótese de invertibilidade de B, a conclusão não vale.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados