Seja A uma matriz quadrada de ordem n que possui duas linhas iguais. Explique porque o sistema A X=0n times 1 tem infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada de ordem n que possui duas linhas iguais e pede para mostrar que o sistema homogêneo
A X = 0ntimes1
tem infinitas soluções. Vamos usar conteúdos de Álgebra Linear: propriedades do determinante, critério de invertibilidade (determinante nulo implica matriz singular) e o teorema do posto (rank–nullity) para sistemas homogêneos.

Passo 2

Quando uma matriz A tem duas linhas idênticas, se trocarmos essas duas linhas ela não se altera. Mas sabemos que trocar duas linhas de uma matriz muda o sinal do determinante. Logo, denotando por det(A) o determinante de A, temos
det(A) = -det(A)
e daí det(A)=0.

Passo 3

Como , a matriz é não invertível (singular). Portanto
isto é, .

Passo 4

Pelo teorema do posto (ou teorema da dimensão do núcleo), vale
Como , segue . Portanto o espaço de soluções do sistema homogêneo é de dimensão pelo menos , ou seja, existem vetores não nulos tais que , e então há infinitas soluções (qualquer combinação linear desses vetores).

Resposta

O sistema tem infinitas soluções porque implica e, pelo teorema do posto, , garantindo um espaço nulo de dimensão positiva.

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