Seja
uma matriz quadrada de ordem
que possui duas linhas iguais. Explique porque o sistema
tem infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz quadrada de ordem
que possui duas linhas iguais e pede para mostrar que o sistema homogêneo
tem infinitas soluções. Vamos usar conteúdos de Álgebra Linear: propriedades do determinante, critério de invertibilidade (determinante nulo implica matriz singular) e o teorema do posto (rank–nullity) para sistemas homogêneos.
Passo 2
Quando uma matriz
tem duas linhas idênticas, se trocarmos essas duas linhas ela não se altera. Mas sabemos que trocar duas linhas de uma matriz muda o sinal do determinante. Logo, denotando por
o determinante de
, temos
e daí
.
Passo 3
Como
, a matriz
é não invertível (singular). Portanto
isto é, .
Passo 4
Pelo teorema do posto (ou teorema da dimensão do núcleo), vale
Como , segue
. Portanto o espaço de soluções do sistema homogêneo é de dimensão pelo menos
, ou seja, existem vetores não nulos
tais que
, e então há infinitas soluções (qualquer combinação linear desses vetores).
Resposta
O sistema
tem infinitas soluções porque
implica e, pelo teorema do posto,
, garantindo um espaço nulo de dimensão positiva.