Quais das seguintes matrizes são matrizes na forma escalonada reduzida por linhas? Justifique.
A=[ccc 2 & 1 & 0 0 & -1 & 0 0 & 1 & 1 ], B=[lll 1 & 1 & 0 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 ], C=[ccc 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes na forma escalonada reduzida por linhas. A gente precisa identificar quais das matrizes A, B e C estão nessa forma. Para isso, vamos lembrar algumas regrinhas importantes sobre a forma escalonada reduzida:
  1. Cada linha não nula começa com um 1 (chamado de pivô).
  2. Cada pivô está à direita do pivô da linha de cima.
  3. Todas as entradas acima e abaixo de um pivô são zero.
  4. Linhas de zeros ficam na parte de baixo da matriz.
Vamos analisar cada matriz seguindo essas regras!

Passo 2

Matriz A:
A = 2 & 1 & 0 0 & -1 & 0 0 & 1 & 1
Primeiro, a gente verifica se o primeiro elemento (primeira entrada) da primeira linha é 1. Aqui, temos um 2, que não é um 1. Isso já viola a primeira regra da forma reduzida. Além disso, vamos olhar para os outros pivôs:
  • Na segunda linha, o primeiro elemento não nulo é -1, que também não é 1.
  • Na terceira linha, o primeiro elemento não nulo é 1, que está certo.
Como não estão todos os pivôs iguais a 1 e o primeiro pivô não está na forma correta, a Matriz A não está na forma escalonada reduzida por linhas.

Passo 3

Matriz B:
B = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0
Vamos verificar as regras:
  1. Pivôs iguais a 1:
    • Primeira linha: pivô é 1.
    • Segunda linha: pivô é 1.
    • Terceira linha: é uma linha de zeros, o que está correto.
  2. Posição dos pivôs:
    • O pivô da segunda linha (coluna 2) está à direita do pivô da primeira linha (coluna 1), o que está certo.
  3. Entradas acima e abaixo dos pivôs são zeros:
    • Na coluna 1, o pivô é 1 e não há entradas não nulas acima ou abaixo dele.
    • Na coluna 2, o pivô é 1 e não há entradas não nulas acima ou abaixo dele, além do próprio pivô.
Tudo está certinho conforme as regras. Então, a Matriz B está na forma escalonada reduzida por linhas.

Passo 4

Matriz C:
C = 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Vamos checar as regras:
  1. Pivôs iguais a 1:
    • Primeira linha: pivô é 1.
    • Segunda linha: pivô é 1.
    • Terceira linha: é uma linha de zeros.
  2. Posição dos pivôs:
    • O pivô da segunda linha está na coluna 3, que está à direita do pivô da primeira linha (coluna 1). Isso está correto.
  3. Entradas acima e abaixo dos pivôs são zeros:
    • Na coluna 1, o pivô é 1 e não há outras entradas não nulas nessa coluna.
    • Na coluna 3, o pivô é 1, mas tem uma entrada 0 acima dele na primeira linha, o que está certo.
Tudo está conforme as regras! Portanto, a Matriz C está na forma escalonada reduzida por linhas.

Resposta

As matrizes B e C estão na forma escalonada reduzida por linhas, enquanto a matriz A não está.

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