Quais das seguintes matrizes são matrizes na forma escalonada reduzida por linhas? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes na forma escalonada reduzida por linhas. A gente precisa identificar quais das matrizes A, B e C estão nessa forma. Para isso, vamos lembrar algumas regrinhas importantes sobre a forma escalonada reduzida:
- Cada linha não nula começa com um 1 (chamado de pivô).
- Cada pivô está à direita do pivô da linha de cima.
- Todas as entradas acima e abaixo de um pivô são zero.
- Linhas de zeros ficam na parte de baixo da matriz.
Vamos analisar cada matriz seguindo essas regras!
Passo 2
Matriz A:
Primeiro, a gente verifica se o primeiro elemento (primeira entrada) da primeira linha é 1. Aqui, temos um 2, que não é um 1. Isso já viola a primeira regra da forma reduzida. Além disso, vamos olhar para os outros pivôs:
- Na segunda linha, o primeiro elemento não nulo é -1, que também não é 1.
- Na terceira linha, o primeiro elemento não nulo é 1, que está certo.
Como não estão todos os pivôs iguais a 1 e o primeiro pivô não está na forma correta, a Matriz A não está na forma escalonada reduzida por linhas.
Passo 3
Matriz B:
Vamos verificar as regras:
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Pivôs iguais a 1:
- Primeira linha: pivô é 1.
- Segunda linha: pivô é 1.
- Terceira linha: é uma linha de zeros, o que está correto.
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Posição dos pivôs:
- O pivô da segunda linha (coluna 2) está à direita do pivô da primeira linha (coluna 1), o que está certo.
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Entradas acima e abaixo dos pivôs são zeros:
- Na coluna 1, o pivô é 1 e não há entradas não nulas acima ou abaixo dele.
- Na coluna 2, o pivô é 1 e não há entradas não nulas acima ou abaixo dele, além do próprio pivô.
Tudo está certinho conforme as regras. Então, a Matriz B está na forma escalonada reduzida por linhas.
Passo 4
Matriz C:
Vamos checar as regras:
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Pivôs iguais a 1:
- Primeira linha: pivô é 1.
- Segunda linha: pivô é 1.
- Terceira linha: é uma linha de zeros.
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Posição dos pivôs:
- O pivô da segunda linha está na coluna 3, que está à direita do pivô da primeira linha (coluna 1). Isso está correto.
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Entradas acima e abaixo dos pivôs são zeros:
- Na coluna 1, o pivô é 1 e não há outras entradas não nulas nessa coluna.
- Na coluna 3, o pivô é 1, mas tem uma entrada 0 acima dele na primeira linha, o que está certo.
Tudo está conforme as regras! Portanto, a Matriz C está na forma escalonada reduzida por linhas.
Resposta
As matrizes B e C estão na forma escalonada reduzida por linhas, enquanto a matriz A não está.