Para os seguintes pares de aplicações, calcule as compostas f \circ g e g \circ f.
f(x)=x^{2}+1, g(x)=2 x+5.

Passo 1

O enunciado dá duas aplicações (funções) e pede as duas composições. As informações fornecidas são:
  • f(x)=x^{2}+1.
  • g(x)=2x+5.
O que é pedido:
  • Calcular f\circ g, isto é, a função x \mapsto f(g(x)).
  • Calcular g\circ f, isto é, a função x \mapsto g(f(x)).

Passo 2

Definição básica e ideia prática (muito importante para a prova):
  • A composição f\circ g significa “primeiro aplico g em x, depois aplico f no resultado”. Em símbolos:
(f\circ g)(x)=f(g(x)).
  • Analogamente,
(g\circ f)(x)=g(f(x)).
Na prática: pegar a expressão de g(x) e substituí-la onde aparece a variável em f (para f\circ g); e pegar a expressão de f(x) e substituí-la onde aparece a variável em g (para g\circ f). As variáveis são só rótulos; pense em x como “o número de entrada”.
Dica de prova: escreva sempre a definição antes de substituir, para não confundir a ordem.

Passo 3

Calcular f\circ g passo a passo.
Primeiro escrevo a definição:
(f\circ g)(x)=f(g(x)).
Substituo g(x)=2x+5 na expressão de f, que é f(t)=t^{2}+1 (aqui usei t como variável genérica para ver o processo):
f(g(x))=(2x+5)^{2}+1.
Agora expando o quadrado. Lembre que (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aplicando com a=2x e b=5:
(2x+5)^{2}=(2x)^{2}+2\cdot(2x)\cdot5+5^{2}=4x^{2}+20x+25.
Somando o +1 que já estava:
f(g(x))=4x^{2}+20x+25+1=4x^{2}+20x+26.

Passo 4

Calcular g\circ f passo a passo.
Escrevo a definição:
(g\circ f)(x)=g(f(x)).
Substituo f(x)=x^{2}+1 na expressão de g, que é g(t)=2t+5:
g(f(x))=2\bigl(x^{2}+1\bigr)+5.
Distribuo o 2 (lembre: 2(a+b)=2a+2b):
g(f(x))=2x^{2}+2+5.
Faço a soma 2+5:
g(f(x))=2x^{2}+7.

Passo 5

Observações finais (úteis na prova):
  • As duas composições deram funções diferentes, então composição de funções não é, em geral, comutativa: f\circ g\neq g\circ f.
  • Ambas são polinômios, cujo domínio natural é todo o conjunto dos números reais \mathbb{R}. Logo não há restrição de domínio aqui.
  • Para resolver outros exercícios parecidos: sempre escreva primeiro (f\circ g)(x)=f(g(x)) e (g\circ f)(x)=g(f(x)), depois substitua e simplifique passo a passo.

Resposta

(f\circ g)(x)=4x^{2}+20x+26
(g\circ f)(x)=2x^{2}+7

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