Para os seguintes pares de aplicações, calcule as compostas
e
.
.
Passo 1
O enunciado dá duas aplicações (funções) e pede as duas composições. As informações fornecidas são:
-
. -
.
O que é pedido:
- Calcular
, isto é, a função . - Calcular
, isto é, a função .
Passo 2
Definição básica e ideia prática (muito importante para a prova):
- A composição
significa “primeiro aplico em , depois aplico no resultado”. Em símbolos:
- Analogamente,
Na prática: pegar a expressão de
e substituí-la onde aparece a variável em
(para
); e pegar a expressão de
e substituí-la onde aparece a variável em
(para
). As variáveis são só rótulos; pense em
como “o número de entrada”.
Dica de prova: escreva sempre a definição antes de substituir, para não confundir a ordem.
Passo 3
Calcular
passo a passo.
Primeiro escrevo a definição:
Primeiro escrevo a definição:
Substituo
na expressão de
, que é
(aqui usei
como variável genérica para ver o processo):
Agora expando o quadrado. Lembre que
. Aplicando com
e
:
Somando o
que já estava:
Passo 4
Calcular
passo a passo.
Escrevo a definição:
Escrevo a definição:
Substituo
na expressão de
, que é
:
Distribuo o
(lembre:
):
Faço a soma
:
Passo 5
Observações finais (úteis na prova):
- As duas composições deram funções diferentes, então composição de funções não é, em geral, comutativa:
. - Ambas são polinômios, cujo domínio natural é todo o conjunto dos números reais
. Logo não há restrição de domínio aqui. - Para resolver outros exercícios parecidos: sempre escreva primeiro
e , depois substitua e simplifique passo a passo.