Nos seguintes problemas, determine se as seqüências convergem ou divergem.Se convergirem, determine o limite.
(1+1n)^n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = l(1+1nr)^n
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo é limites de sequências e o número e. Vamos usar a expansão binomial para mostrar que an é monótona e limitada, e em seguida identificar o limite como e.

Passo 2

Usando o Teorema do Binômio, para cada n temos
l(1+1nr)^n =sumk=0^nbinomnk1n^k =sumk=0^nn(n-1)cdots(n-k+1)k!,1n^k
Note que, para todo k<= n,
n(n-1)cdots(n-k+1)n^k =prodj=0^k-1l(1-jnr)<= 1,
logo cada termo da soma não ultrapassa tfrac1k!. Assim
an = l(1+tfrac1nr)^n <= sumk=0^n1k! < sumk=0^infty1k! = e
Por outro lado, é conhecido (ou pode ser mostrado comparando termos) que an é crescente. Portanto an é monótona crescente e limitada acima por e, e converge por este critério.

Passo 3

Como an é crescente e limitada superiormente pelo valor da série sumk=0^infty1/k!=e, concluímos que
limntoinftyan =limntoinftyl(1+tfrac1nr)^n =e

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyl(1+tfrac1nr)^n=e

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