Nos seguintes problemas, determine se as seqüências convergem ou divergem.Se convergirem, determine o limite.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo é limites de sequências e o número
. Vamos usar a expansão binomial para mostrar que
é monótona e limitada, e em seguida identificar o limite como
.
Passo 2
Usando o Teorema do Binômio, para cada
temos
Note que, para todo
,
logo cada termo da soma não ultrapassa
. Assim
Por outro lado, é conhecido (ou pode ser mostrado comparando termos) que
é crescente. Portanto
é monótona crescente e limitada acima por
, e converge por este critério.
Passo 3
Como
é crescente e limitada superiormente pelo valor da série
, concluímos que
Resposta
A sequência converge e