Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem.Se convergirem, determine o limite.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente ver se a sequência
converge ou diverge. Isso envolve entender sequências e limites, que são partes da análise matemática. Vamos precisar lembrar como o cosseno se comporta e como o denominador cresce com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador da fração, que é
. Sabemos que o cosseno de qualquer número real está sempre entre -1 e 1, ou seja,
. Quando elevamos o cosseno a uma potência par, como 10, o resultado fica entre 0 e 1:
.
Passo 3
Agora, olhamos para o denominador, que é
. Conforme
aumenta,
também aumenta indefinidamente. Isso significa que o denominador está indo para o infinito.
Passo 4
Vamos juntar as duas partes. Temos uma fração onde o numerador está limitado entre 0 e 1, enquanto o denominador cresce sem limites. Quando o numerador é uma constante e o denominador vai para o infinito, a fração tende a zero.
Passo 5
Formalizando isso, aplicamos o conceito de limite:
Como
, dividindo por um número que cresce para o infinito, o limite da fração é 0.
Resposta
A sequência
converge e o limite é
.