Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem.Se convergirem, determine o limite.
{cos^10(n) / n}_{n=1}^{infinito}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente ver se a sequência converge ou diverge. Isso envolve entender sequências e limites, que são partes da análise matemática. Vamos precisar lembrar como o cosseno se comporta e como o denominador cresce com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador da fração, que é . Sabemos que o cosseno de qualquer número real está sempre entre -1 e 1, ou seja, . Quando elevamos o cosseno a uma potência par, como 10, o resultado fica entre 0 e 1: .

Passo 3

Agora, olhamos para o denominador, que é n. Conforme n aumenta, n também aumenta indefinidamente. Isso significa que o denominador está indo para o infinito.

Passo 4

Vamos juntar as duas partes. Temos uma fração onde o numerador está limitado entre 0 e 1, enquanto o denominador cresce sem limites. Quando o numerador é uma constante e o denominador vai para o infinito, a fração tende a zero.

Passo 5

Formalizando isso, aplicamos o conceito de limite:
Como , dividindo por um número que cresce para o infinito, o limite da fração é 0.

Resposta

A sequência converge e o limite é 0.

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