Nos seguintes problemas use a definição para calcular Lf(t)
(a)
f(t)=l t, 0 <= t<1 0, t >= 1

Passo 1

A gente tem a função f(t) definida como t para 0 ≤ t < 1 e zero para t ≥ 1. O conteúdo aqui é Transformada de Laplace pela definição, e vamos precisar lembrar que Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) ,dt.

Passo 2

Como f(t) vale zero a partir de t = 1, o integral até infinito reduz para integral de 0 a 1 de t·e^{-st}. Ou seja,
Lf(t) = integral0^1 t,e^-st ,dt

Passo 3

Para calcular integral0^1 t,e^-st ,dt usamos integração por partes. Definimos
u = t, dv = e^-st ,dt,
o que dá
du = dt, v = -1s e^-st
Então
integral0^1 t,e^-st ,dt = lu vr|0^1 - integral0^1 v,du

Passo 4

Substituindo e aplicando limites, vem
integral0^1 t,e^-st ,dt = -1se^-s + 1s integral0^1 e^-st ,dt

Passo 5

E o integral remanescente é simples:
integral0^1 e^-st ,dt = l-1se^-str|0^1 = -1s(e^-s - 1)
Logo
integral0^1 t,e^-st ,dt = -1se^-s - 1s^2(e^-s - 1)
Bastou agora juntar termos semelhantes para escrever o resultado de forma compacta.

Resposta

Lf(t) = 1 - (s + 1)e^-ss^2

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