Quais dos seguintes são combinações lineares de
A=[rr 4 & 0 -2 & -2 ], B=[rr 1 & -1 2 & 3 ], C=[ll 0 & 2 1 & 4 ] ?
[rr-1 & 5 7 & 1]

Passo 1

O enunciado nos dá três matrizes
A = 4 & 0 -2 & -2, B = 1 & -1 2 & 3, C = 0 & 2 1 & 4
e pergunta se a matriz
M = -1 & 5 7 & 1
pode ser escrita como combinação linear
xA + yB + zC = M
O conteúdo aqui é resolução de sistema linear obtido das quatro entradas das matrizes.

Passo 2

Escrevemos equações para cada posição da matriz:
(1,1): 4x + y + 0z = -1,
(1,2): 0x - y + 2z = 5,
(2,1): -2x + 2y + z = 7,
(2,2): -2x + 3y + 4z = 1.

Passo 3

Das duas primeiras equações isolamos y e z.
De 4x + y = -1 vem
y = -1 - 4x
De -y + 2z = 5, substituindo y:
-(-1-4x) + 2z = 5 ;Longrightarrow; 1 + 4x + 2z = 5 ;Longrightarrow; 2z = 4 - 4x ;Longrightarrow; z = 2 - 2x

Passo 4

Substituímos y e z na terceira equação -2x + 2y + z = 7:
-2x + 2(-1-4x) + (2-2x) = 7 ;Longrightarrow; -2x -2 -8x + 2 -2x = 7 ;Longrightarrow; -12x = 7 ;Longrightarrow; x = -tfrac712
Então
y = -1 - 4l(-tfrac712r) = tfrac43, z = 2 - 2l(-tfrac712r) = tfrac196

Passo 5

Restou verificar a quarta equação -2x + 3y + 4z = 1. Substituindo
-2l(-tfrac712r) + 3l(tfrac43r) + 4l(tfrac196r) = tfrac76 + 4 + tfrac766 = tfrac7 + 24 + 766 = tfrac1076 neq 1
Isso mostra que não há solução comum para as quatro equações.

Resposta

A matriz -1 & 5 7 & 1 não é combinação linear de A, B e C.

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