Seja ( G, * ) um grupo. Demonstre que:
O elemento simétrico a^prime in G é único.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um grupo (G, *), que basicamente é um conjunto com uma operação que segue certas regras. A questão quer que a gente prove que, para qualquer elemento a dentro desse grupo, o elemento inverso a' é único. Ou seja, não pode ter dois inversos diferentes para o mesmo elemento. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo e o que significa um elemento inverso dentro desse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo (G, *) é um conjunto G junto com uma operação * que satisfaz quatro propriedades básicas: fechamento, associatividade, elemento neutro e existência de inversos. A gente já vai focar na parte dos inversos.

Passo 3

O inverso de um elemento a in G é um elemento a' in G tal que quando você faz a operação a * a', você obtém o elemento neutro e do grupo. Ou seja:
a * a' = e e a' * a = e

Passo 4

Agora, vamos supor que existam dois inversos para o mesmo elemento a. Vamos chamar esses inversos de b e c. Então, temos:
a * b = e e a * c = e

Passo 5

Queremos mostrar que b e c são, na verdade, o mesmo elemento. Para isso, vamos usar as propriedades do grupo. Sabemos que b é um inverso de a, então:
b * a = e

Passo 6

Agora, considerando que a * c = e, podemos multiplicar ambos os lados dessa equação por b à esquerda:
b * (a * c) = b * e

Passo 7

Usando a associatividade da operação do grupo, reescrevemos a equação:
(b * a) * c = b

Passo 8

Sabemos que b * a = e, então substituímos na equação:
e * c = b

Passo 9

Como e é o elemento neutro, qualquer elemento multiplicado por e permanece igual. Então:
c = b

Resposta

Portanto, mostramos que os dois possíveis inversos b e c são iguais. Assim, o elemento inverso a' em um grupo (G, *) é único.

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