Seja (
) um grupo. Demonstre que:
O elemento simétrico
é único.
O elemento simétrico
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um grupo
, que basicamente é um conjunto com uma operação que segue certas regras. A questão quer que a gente prove que, para qualquer elemento
dentro desse grupo, o elemento inverso
é único. Ou seja, não pode ter dois inversos diferentes para o mesmo elemento. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo e o que significa um elemento inverso dentro desse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo
é um conjunto
junto com uma operação
que satisfaz quatro propriedades básicas: fechamento, associatividade, elemento neutro e existência de inversos. A gente já vai focar na parte dos inversos.
Passo 3
O inverso de um elemento
é um elemento
tal que quando você faz a operação
, você obtém o elemento neutro
do grupo. Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos supor que existam dois inversos para o mesmo elemento
. Vamos chamar esses inversos de
e
. Então, temos:
Passo 5
Queremos mostrar que
e
são, na verdade, o mesmo elemento. Para isso, vamos usar as propriedades do grupo. Sabemos que
é um inverso de
, então:
Passo 6
Agora, considerando que
, podemos multiplicar ambos os lados dessa equação por
à esquerda:
Passo 7
Usando a associatividade da operação do grupo, reescrevemos a equação:
Passo 8
Sabemos que
, então substituímos na equação:
Passo 9
Como
é o elemento neutro, qualquer elemento multiplicado por
permanece igual. Então:
Resposta
Portanto, mostramos que os dois possíveis inversos
e
são iguais. Assim, o elemento inverso
em um grupo
é único.