Quais dos seguintes são subespaços de
(a) Todos os vetores na forma (
)
(b) Todos os vetores na forma
(c) Todos os vetores na forma
, com
(a) Todos os vetores na forma (
(b) Todos os vetores na forma
(c) Todos os vetores na forma
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente identificar quais dos conjuntos de vetores dados são subespaços de
. Para isso, precisamos lembrar o que é um subespaço: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Vamos analisar cada item passo a passo usando esses critérios.
Passo 2
Item (a): Todos os vetores na forma
Primeiro, vamos ver se esse conjunto contém o vetor zero. Se
, temos
, que está aí, beleza. Agora, vamos checar se é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
- Adição: Se temos dois vetores
e , a soma é , que ainda está na mesma forma. - Multiplicação por escalar: Se multiplicamos
por um escalar , fica , que também está na mesma forma.
Tudo confere, então esse conjunto é um subespaço.
Passo 3
Item (b): Todos os vetores na forma
Vamos começar verificando se o vetor zero está nesse conjunto. O vetor zero seria
, mas olhando a forma
, vemos que o segundo e terceiro componentes sempre são 1, então não temos o vetor zero. Já falhou o primeiro requisito para ser subespaço. Não precisa verificar os outros critérios, já que não satisfaz uma condição básica.
Passo 4
Item (c): Todos os vetores na forma
, com
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está nesse conjunto. Se
e
, então
, então
está no conjunto.
Agora, vamos checar a adição e a multiplicação por escalar.
- Adição: Se temos dois vetores
e , a soma seria . Simplificando, , que ainda satisfaz . - Multiplicação por escalar: Multiplicando
por um escalar , temos . Como , ainda temos .
Tudo confere, então esse conjunto também é um subespaço.
Resposta
Os itens (a) e (c) são subespaços de
.