Quais dos seguintes são subespaços de R^3
(a) Todos os vetores na forma ( a, 0,0 )
(b) Todos os vetores na forma (a, 1,1)
(c) Todos os vetores na forma (a, b, c), com b=a+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente identificar quais dos conjuntos de vetores dados são subespaços de R^3. Para isso, precisamos lembrar o que é um subespaço: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Vamos analisar cada item passo a passo usando esses critérios.

Passo 2

Item (a): Todos os vetores na forma (a, 0, 0)
Primeiro, vamos ver se esse conjunto contém o vetor zero. Se a = 0, temos (0, 0, 0), que está aí, beleza. Agora, vamos checar se é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
  • Adição: Se temos dois vetores (a, 0, 0) e (b, 0, 0), a soma é (a+b, 0, 0), que ainda está na mesma forma.
  • Multiplicação por escalar: Se multiplicamos (a, 0, 0) por um escalar k, fica (ka, 0, 0), que também está na mesma forma.
Tudo confere, então esse conjunto é um subespaço.

Passo 3

Item (b): Todos os vetores na forma (a, 1, 1)
Vamos começar verificando se o vetor zero está nesse conjunto. O vetor zero seria (0, 0, 0), mas olhando a forma (a, 1, 1), vemos que o segundo e terceiro componentes sempre são 1, então não temos o vetor zero. Já falhou o primeiro requisito para ser subespaço. Não precisa verificar os outros critérios, já que não satisfaz uma condição básica.

Passo 4

Item (c): Todos os vetores na forma (a, b, c), com b = a + c
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está nesse conjunto. Se a = 0 e c = 0, então b = 0 + 0 = 0, então (0, 0, 0) está no conjunto.
Agora, vamos checar a adição e a multiplicação por escalar.
  • Adição: Se temos dois vetores (a, a + c, c) e (a', a' + c', c'), a soma seria (a + a', (a + a') + (c + c'), c + c'). Simplificando, (a + a', (a + c) + (a' + c'), c + c'), que ainda satisfaz b = a + c.
  • Multiplicação por escalar: Multiplicando (a, a + c, c) por um escalar k, temos (ka, k(a + c), kc). Como k(a + c) = ka + kc, ainda temos b = a + c.
Tudo confere, então esse conjunto também é um subespaço.

Resposta

Os itens (a) e (c) são subespaços de R^3.

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