As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(d) \left[\begin{array}{lll}4 & 2 & x \\\\ 3 & y & 1\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & x\\\\ 3 & y & 1 \end{pmatrix}
de um sistema A\mathbf{v}=\mathbf b com 2 equações e 3 incógnitas. Pede-se que, para qualquer \mathbf b=(b_1,b_2), o sistema tenha infinitas soluções. Para isso vamos usar conceitos de posto da matriz, consistência e dimensão do espaço solução.

Passo 2

Em geral, para um sistema m\times n com coeficientes A:
  1. Ele é consistente para todo \mathbf b se, e somente se, \rank(A)=m.
  2. Ele tem infinitas soluções sempre que o número de incógnitas excede o posto, ou seja, n-\rank(A)>0.
Aqui m=2 e n=3. Logo precisamos de
\rank(A)=2
para garantir consistência para qualquer \mathbf b, e então 3-2=1>0 nos dá infinitas soluções.

Passo 3

Para ter \rank(A)=2 basta que as duas linhas de A sejam linearmente independentes, ou seja, que não haja escalar t tal que
(3,y,1)=t\,(4,2,x).
Se existisse tal t, teríamos
t=\frac{3}{4},\quad y=2t=\frac{3}{2},\quad 1= x\,t\implies x=\frac{4}{3}.
Portanto as linhas são dependentes (posto 1) exatamente quando
x=\tfrac{4}{3} \quad\text{e}\quad y=\tfrac{3}{2}.
Em qualquer outro caso as linhas são independentes e \rank(A)=2.

Resposta

O sistema tem infinitas soluções para todo \mathbf b se, e somente se,
(x,y)\neq\Bigl(\tfrac{4}{3},\,\tfrac{3}{2}\Bigr).

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