As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(d) \left[\begin{array}{lll}4 & 2 & x \\\\ 3 & y & 1\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
Passo 1
O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & x\\\\ 3 & y & 1 \end{pmatrix}
de um sistema A\mathbf{v}=\mathbf b com 2 equações e 3 incógnitas. Pede-se que, para qualquer \mathbf b=(b_1,b_2), o sistema tenha infinitas soluções. Para isso vamos usar conceitos de posto da matriz, consistência e dimensão do espaço solução.
Passo 2
Em geral, para um sistema m\times n com coeficientes A:
Ele é consistente para todo \mathbf b se, e somente se, \rank(A)=m.
Ele tem infinitas soluções sempre que o número de incógnitas excede o posto, ou seja, n-\rank(A)>0.
Aqui m=2 e n=3. Logo precisamos de
\rank(A)=2
para garantir consistência para qualquer \mathbf b, e então 3-2=1>0 nos dá infinitas soluções.
Passo 3
Para ter \rank(A)=2 basta que as duas linhas de A sejam linearmente independentes, ou seja, que não haja escalar t tal que