As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(b) \left[\begin{array}{ll}2 & x \\\\ 3 & 4 \\\\ 4 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 2 & x\\\\ 3 & 4\\\\ 4 & y \end{pmatrix}
de um sistema com m=3 equações e n=2 incógnitas, e pede que, dependendo de \boldsymbol b=(b_1,b_2,b_3), o sistema tenha ou nenhuma solução ou infinitas soluções.
Em teoria de sistemas lineares:
  • Há infinitas soluções se
    \displaystyle\rank(A)=\rank(A\mid\boldsymbol b)<n.
  • Há nenhuma solução para certos \boldsymbol b se
    \displaystyle\rank(A\mid\boldsymbol b)>\rank(A).
Para que isso seja possível, precisamos ter \rank(A)<2 e também existirem \boldsymbol b que aumentem o posto ao considerar a coluna dos termos independentes. Logo, devemos forçar \rank(A)=1.

Passo 2

Para \rank(A)=1\), todas as linhas de \(A\) devem ser proporcionais. Comparando a 2ª linha com a 1ª, existe \(\lambda\) tal que \[(3,4)=\lambda\,(2,x) \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 2\lambda=3,\\\ \lambda x=4 \end{cases} \;\Longrightarrow\; \lambda=\tfrac32,\; x=\tfrac{4}{\lambda}=\tfrac{4}{3/2}=\tfrac{8}{3}.
Comparando a 3ª linha com a 1ª, existe (\mu] tal que
(4,y)=\mu\,(2,x) \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 2\mu=4,\\\ \mu x=y \end{cases} \;\Longrightarrow\; \mu=2,\; y=2\cdot x=2\cdot\tfrac{8}{3}=\tfrac{16}{3}.

Passo 3

Com x=\tfrac{8}{3} e y=\tfrac{16}{3}, as três equações são proporcionais, de modo que \rank(A)=1<2.
  • Se \boldsymbol b satisfaz as mesmas proporções
b_2=\tfrac32\,b_1 \quad\text{e}\quad b_3=2\,b_1,
então \rank(A\mid\boldsymbol b)=1 e há infinitas soluções (uma equação efetiva e duas incógnitas).
  • Se \boldsymbol b não satisfaz essas iguais proporções, então
    \rank(A\mid\boldsymbol b)=2>\rank(A) e o sistema fica sem solução.

Resposta

x=\tfrac{8}{3},\;y=\tfrac{16}{3}.
Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções se
b_2=\tfrac32\,b_1 \quad\text{e}\quad b_3=2\,b_1,
e não tem solução para quaisquer outros valores de \boldsymbol b.

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