As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(c) \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 5 \\\\ 3 & x\end{array}\right], 0 ou 1 solução a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 1 & 5\\\\ 3 & x \end{pmatrix}
de um sistema Ax=b com 3 equações e 2 incógnitas. Queremos os valores de x para os quais esse sistema tenha ou zero soluções ou uma única solução, dependendo de b.

Passo 2

Um sistema Ax=b com mais equações que incógnitas ( 3\times 2) tem no máximo uma solução se e somente se
\rank(A)=\text{número de colunas}=2.
Nesse caso, para alguns b o sistema é consistente (e a solução é única) e para outros é inconsistente (zero soluções).

Passo 3

Para verificar \rank(A)=2 basta encontrar algum menor 2\times2 não nulo. Por exemplo, usando as duas primeiras linhas:
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 5\end{pmatrix} =2\cdot5 - 1\cdot1 = 10 - 1 = 9 \neq 0.

Passo 4

Como esse determinante é 9 independente de x, temos \rank(A)=2 para todo x\in\mathbb{R}. Logo o sistema sempre atende ao caso “zero ou uma solução, dependendo de b”.

Resposta

Para todo x\in\mathbb{R}.

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