As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(c) \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 5 \\\\ 3 & x\end{array}\right], 0 ou 1 solução a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
Passo 1
O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 1 & 5\\\\ 3 & x \end{pmatrix}
de um sistema Ax=b com 3 equações e 2 incógnitas. Queremos os valores de x para os quais esse sistema tenha ou zero soluções ou uma única solução, dependendo de b.
Passo 2
Um sistema Ax=b com mais equações que incógnitas (3\times 2) tem no máximo uma solução se e somente se
\rank(A)=\text{número de colunas}=2.
Nesse caso, para alguns b o sistema é consistente (e a solução é única) e para outros é inconsistente (zero soluções).
Passo 3
Para verificar \rank(A)=2 basta encontrar algum menor 2\times2 não nulo. Por exemplo, usando as duas primeiras linhas:
Como esse determinante é 9independente de x, temos \rank(A)=2 para todox\in\mathbb{R}. Logo o sistema sempre atende ao caso “zero ou uma solução, dependendo de b”.