As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(d) \left[\begin{array}{lll}3 & 2 & x \\\\ 3 & y & 4\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
de um sistema 2\times3 e pede infinitas soluções para qualquer vetor \boldsymbol b\in\mathbb R^2. Como há 3 incógnitas e 2 equações, para que o sistema seja sempre consistente e subdeterminado (logo com infinitas soluções) precisamos de
rank(A)=2 (para garantir consistência para qualquer \boldsymbol b),
número de incógnitas =3> rank =2 (para garantir infinitas soluções).
Passo 2
Para rank(A)=2 as duas linhas de A devem ser linearmente independentes. Escrevamos as linhas como
r_1=(3,2,x),\qquad r_2=(3,y,4).
Elas seriam proporcionais (rank =1) se existisse k tal que
(3,2,x)=k\,(3,y,4).
Da primeira componente vem 3=3k\Rightarrow k=1. Então seria preciso também
2=y \quad\text{e}\quad x=4.
Logo, exatamente no caso (x,y)=(4,2) temos rank(A)=1.
Passo 3
Alternativamente, basta verificar um determinante de 2\times2 não nulo. Por exemplo, nas colunas 1 e 2: