As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(d) \left[\begin{array}{lll}3 & 2 & x \\\\ 3 & y & 4\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & x\\\\ 3 & y & 4 \end{pmatrix}
de um sistema 2\times3 e pede infinitas soluções para qualquer vetor \boldsymbol b\in\mathbb R^2. Como há 3 incógnitas e 2 equações, para que o sistema seja sempre consistente e subdeterminado (logo com infinitas soluções) precisamos de
  1. rank (A)=2 (para garantir consistência para qualquer \boldsymbol b),
  2. número de incógnitas =3> rank =2 (para garantir infinitas soluções).

Passo 2

Para rank (A)=2 as duas linhas de A devem ser linearmente independentes. Escrevamos as linhas como
r_1=(3,2,x),\qquad r_2=(3,y,4).
Elas seriam proporcionais (rank =1) se existisse k tal que
(3,2,x)=k\,(3,y,4).
Da primeira componente vem 3=3k\Rightarrow k=1. Então seria preciso também
2=y \quad\text{e}\quad x=4.
Logo, exatamente no caso (x,y)=(4,2) temos rank (A)=1.

Passo 3

Alternativamente, basta verificar um determinante de 2\times2 não nulo. Por exemplo, nas colunas 1 e 2:
\det\begin{pmatrix}3&2\\\ 3&y\end{pmatrix} =3y-3\cdot2=3(y-2).
Para que isso seja não nulo, exige-se y\neq2. Se usássemos colunas 1 e 3, obteríamos
\det\begin{pmatrix}3&x\\\ 3&4\end{pmatrix} =3\cdot4-3x=12-3x\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq4.
Mas basta que algum desses determinantes seja não nulo para rank (A)=2.

Passo 4

O único caso em que ambos os determinantes ficam zero é quando simultaneamente
y-2=0 \quad\text{e}\quad 12-3x=0 \;\Longrightarrow\; y=2,\;x=4,
isto é, exatamente (x,y)=(4,2). Nesse caso rank (A)=1 e para certos \boldsymbol b o sistema não tem solução.

Resposta

O sistema tem infinitas soluções para todo \boldsymbol b\in\mathbb R^2 se, e somente se,
(x,y)\neq(4,2).

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