Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?
(a) sumn=1^infty 1n^3
(b) sumn=1^infty n2^n
(c) sumn=1^infty (-3)^n-1raizn
(d) sumn=1^infty raizn1+n^2

Passo 1

O enunciado pede para identificar em quais séries o Teste da Razão é inconclusivo, ou seja, em quais delas o valor
L = limntoinfty|an+1an|
fica igual a 1. O conteúdo é o Teste da Razão para séries, que diz:
– Se L<1, a série converge absolutamente.
– Se L>1, a série diverge.
– Se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Vamos aplicar em geral
L = limntoinfty|an+1an|
a cada série an. Se em algum caso esse limite valer 1, o teste não nos diz nada.

Passo 3

Para (a) an = 1n^3:
|an+1an| = 1(n+1)^31n^3 = l(nn+1r)^3 longrightarrow 1^3 = 1
Logo L=1 e o teste da razão é inconclusivo.

Passo 4

Para (b) an = n2^n:
|an+1an| = n+12^n+1n2^n = n+1ncdot12 longrightarrow 1cdot12 = tfrac12<1
Aqui L=tfrac12<1, então a série converge (teste conclusivo).

Passo 5

Para (c) an = (-3)^n-1raiz n:
|an+1an| = 3^nraizn+13^n-1raiz n = 3,raiznn+1 longrightarrow 3cdot1 = 3>1
Aqui L=3>1, logo diverge (teste conclusivo).

Passo 6

Para (d) an = raiz n1+n^2:
|an+1an| = raizn+11+(n+1)^2raiz n1+n^2 = raizn+1n;1+n^2n^2+2n+2 longrightarrow 1cdot1 = 1
Logo L=1 e o teste da razão não conclui nada.

Passo 7

Os casos em que L=1 são (a) e (d), portanto somente nessas séries o teste da razão é inconclusivo.

Resposta

(a) e (d)

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