Quais dos seguintes subconjuntos do \mathbf{P}_{2} são subespaços . O conjunto de todos os polinômios do tipo:
\mathbf{a}_{2} \boldsymbol{+} \mathbf{a}_{1} \mathbf{t} \boldsymbol{+} \mathbf{a}_{0}, onde \mathbf{a}_{0} \boldsymbol{=} \mathbf{0};

Passo 1

O enunciado dá que o espaço ambiente é \mathbf{P}_{2}, o conjunto dos polinômios com coeficientes em \mathbb{R} e grau menor ou igual a 2. O subconjunto em questão é o conjunto de todos os polinômios do tipo
a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}
com a condição adicional a_{0}=0.
Vou denotar esse subconjunto por
S=\{\,a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}\in\mathbf{P}_{2}\mid a_{0}=0\,\}.
A pergunta que precisamos responder é: S é um subespaço de \mathbf{P}_{2}?

Passo 2

Lembrete prático (fórmula/definição que vou usar): um subconjunto S de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades (muitas vezes empacotadas em duas):
  1. S é não-vazio (equivalente: contém o vetor zero).
  2. S é fechado sob adição: se u\in S e v\in S então u+v\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in S.
Vou verificar essas propriedades uma a uma de forma bem direta e algébrica — do jeito que cai na prova.

Passo 3

Verificar que S é não-vazio (ou contém o polinômio zero).
O polinômio zero em \mathbf{P}_{2} é
0(t)=0\cdot t^{2}+0\cdot t+0.
Aqui o coeficiente constante é 0, ou seja, a_{0}=0. Portanto 0(t)\in S. Conclusão: S é não-vazio e contém o vetor zero.

Passo 4

Verificar fechamento por adição.
Sejam dois polinômios quaisquer em S:
p(t)=a_{2}t^{2}+a_{1}t+0 \quad\text{e}\quad q(t)=b_{2}t^{2}+b_{1}t+0,
com a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}\in\mathbb{R}. Então a soma é
p(t)+q(t)=(a_{2}+b_{2})t^{2}+(a_{1}+b_{1})t+(0+0).
O coeficiente constante da soma é 0+0=0. Logo p+q tem coeficiente constante 0, isto é, p+q\in S. Assim S é fechado sob adição.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação por escalar.
Tome p(t)=a_{2}t^{2}+a_{1}t+0\in S e seja \lambda\in\mathbb{R}. Então
\lambda p(t)=\lambda a_{2}t^{2}+\lambda a_{1}t+\lambda\cdot 0.
O coeficiente constante é \lambda\cdot 0=0. Portanto \lambda p(t)\in S. Assim S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão e interpretação útil para a prova.
Como S contém o polinômio zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que S é um subespaço de \mathbf{P}_{2}.
Uma forma prática de ver e usar S na prova é notar que
S=\{a_{2}t^{2}+a_{1}t\mid a_{1},a_{2}\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{t,t^{2}\}.
Ou seja, S é o subespaço gerado pelos vetores t e t^{2}; tem dimensão 2 e base, por exemplo, \{t,t^{2}\}. Isso ajuda a resolver questões envolvendo dimensão, independência linear ou projeções, sem republicar as checagens básicas.
Força aí — resumindo: basta checar zero, soma e escalar, e pronto!

Resposta

Sim. S é um subespaço de \mathbf{P}_{2}; S=\operatorname{span}\{t,t^{2}\}.

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