Quais dos seguintes subconjuntos do
são subespaços . O conjunto de todos os polinômios do tipo:
, onde
;
Passo 1
O enunciado dá que o espaço ambiente é
, o conjunto dos polinômios com coeficientes em
e grau menor ou igual a
. O subconjunto em questão é o conjunto de todos os polinômios do tipo
com a condição adicional
.
Vou denotar esse subconjunto por
A pergunta que precisamos responder é:
é um subespaço de
?
Passo 2
Lembrete prático (fórmula/definição que vou usar): um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades (muitas vezes empacotadas em duas):
-
é não-vazio (equivalente: contém o vetor zero). -
é fechado sob adição: se e então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Vou verificar essas propriedades uma a uma de forma bem direta e algébrica — do jeito que cai na prova.
Passo 3
Verificar que
é não-vazio (ou contém o polinômio zero).
O polinômio zero em
é
Aqui o coeficiente constante é
, ou seja,
. Portanto
. Conclusão:
é não-vazio e contém o vetor zero.
Passo 4
Verificar fechamento por adição.
Sejam dois polinômios quaisquer em
:
com
. Então a soma é
O coeficiente constante da soma é
. Logo
tem coeficiente constante
, isto é,
. Assim
é fechado sob adição.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação por escalar.
Tome
e seja
. Então
O coeficiente constante é
. Portanto
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Conclusão e interpretação útil para a prova.
Como
contém o polinômio zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.
Uma forma prática de ver e usar
na prova é notar que
Ou seja,
é o subespaço gerado pelos vetores
e
; tem dimensão
e base, por exemplo,
. Isso ajuda a resolver questões envolvendo dimensão, independência linear ou projeções, sem republicar as checagens básicas.
Força aí — resumindo: basta checar zero, soma e escalar, e pronto!
Resposta
Sim.
é um subespaço de
;
.