Verifique quais dos subconjuntos W são subespaços vetoriais de \boldsymbol{V} nos casos:
W=\left\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) \in R^{3} / \mathrm{z}=0\right. e \left.\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2} \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
W=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid z=0 \text{ e } x^2+y^2\le 1\}.
A pergunta é: verificar se W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.
Informações relevantes fornecidas:
  • Qualquer vetor de W tem a coordenada z igual a zero.
  • As coordenadas x e y de vetores de W satisfazem x^2+y^2\le 1 (ou seja, estão dentro do disco fechado de raio 1 no plano z=0).

Passo 2

O que significa ser subespaço vetorial (lembrando devagar, passo a passo):
  • Um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^3 é subespaço vetorial se satisfaz três propriedades básicas:
    1. Contém o vetor zero (vetor nulo) (0,0,0).
    2. É fechado sob adição: se u\in S e v\in S, então u+v\in S.
    3. É fechado sob multiplicação escalar: se u\in S e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda u\in S.
  • Essas três propriedades garantem que qualquer combinação linear de vetores de S continua em S, o que é a ideia de subespaço. Na prática, para negar que um conjunto é subespaço, basta encontrar uma violação em qualquer uma dessas propriedades (um contraexemplo).

Passo 3

Verificação da primeira propriedade: o vetor zero está em W?
  • O vetor zero é (0,0,0). Ele satisfaz z=0 e 0^2+0^2=0\le 1.
  • Portanto (0,0,0)\in W. A primeira propriedade está satisfeita.

Passo 4

Verificação da fechadura sob adição (mostrando passo a passo com um contraexemplo simples):
  • Tome u=(1,0,0). Verifico que u\in W porque z=0 e 1^2+0^2=1\le 1.
  • Tome v=(1,0,0) também (o mesmo vetor). Então v\in W.
  • Calculo a soma: u+v=(1,0,0)+(1,0,0)=(2,0,0).
  • Verifico se (2,0,0) está em W: aqui z=0 (ok), mas x^2+y^2=2^2+0^2=4, e 4\le 1 é falso. Logo (2,0,0)\notin W.
  • Esse é um contraexemplo que mostra que W não é fechado sob adição (já temos uma falha).

Passo 5

Verificação da fechadura sob multiplicação escalar (outro contraexemplo, também direto):
  • Já vimos u=(1,0,0)\in W.
  • Escolho o escalar \lambda=2. Calculo \lambda u: 2u=2(1,0,0)=(2,0,0).
  • Como no passo anterior, (2,0,0)\notin W porque 2^2+0^2=4>1.
  • Portanto W também não é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 6

Observação e intuição geral (didática):
  • A condição x^2+y^2\le 1 descreve um disco fechado no plano z=0. Geometricamente, esse disco não é um subespaço linear porque, em um subespaço, ao multiplicar qualquer vetor por um número maior que 1 o resultado teria de permanecer no conjunto — o que não acontece no disco (os vetores “são limitados” pelo raio).
  • Em contraste, o plano z=0 inteiro (ou seja, \{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}) seria um subespaço porque não impõe limite no tamanho dos vetores; o problema do disco é justamente a restrição pelo raio.

Resposta

W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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