Verifique quais dos subconjuntos W são subespaços vetoriais de
nos casos:
e
.
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
A pergunta é: verificar se
é um subespaço vetorial de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Qualquer vetor de
tem a coordenada igual a zero. - As coordenadas
e de vetores de satisfazem (ou seja, estão dentro do disco fechado de raio no plano ).
Passo 2
O que significa ser subespaço vetorial (lembrando devagar, passo a passo):
- Um subconjunto
é subespaço vetorial se satisfaz três propriedades básicas: - Contém o vetor zero (vetor nulo)
. - É fechado sob adição: se
e , então . - É fechado sob multiplicação escalar: se
e , então .
- Contém o vetor zero (vetor nulo)
- Essas três propriedades garantem que qualquer combinação linear de vetores de
continua em , o que é a ideia de subespaço. Na prática, para negar que um conjunto é subespaço, basta encontrar uma violação em qualquer uma dessas propriedades (um contraexemplo).
Passo 3
Verificação da primeira propriedade: o vetor zero está em
?
- O vetor zero é
. Ele satisfaz e . - Portanto
. A primeira propriedade está satisfeita.
Passo 4
Verificação da fechadura sob adição (mostrando passo a passo com um contraexemplo simples):
- Tome
. Verifico que porque e . - Tome
também (o mesmo vetor). Então . - Calculo a soma:
- Verifico se
está em : aqui (ok), mas , e é falso. Logo . - Esse é um contraexemplo que mostra que
não é fechado sob adição (já temos uma falha).
Passo 5
Verificação da fechadura sob multiplicação escalar (outro contraexemplo, também direto):
- Já vimos
. - Escolho o escalar
. Calculo : - Como no passo anterior,
porque . - Portanto
também não é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 6
Observação e intuição geral (didática):
- A condição
descreve um disco fechado no plano . Geometricamente, esse disco não é um subespaço linear porque, em um subespaço, ao multiplicar qualquer vetor por um número maior que o resultado teria de permanecer no conjunto — o que não acontece no disco (os vetores “são limitados” pelo raio). - Em contraste, o plano
inteiro (ou seja, ) seria um subespaço porque não impõe limite no tamanho dos vetores; o problema do disco é justamente a restrição pelo raio.
Resposta
W não é subespaço vetorial de
.