Por que os seguintes subconjuntos não são subespaços de
?
(iii)
.
(iii)
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
Queremos ver se é um subespaço vetorial de
. Para isso precisamos checar três propriedades: (i) contém o vetor zero, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação escalar.
Queremos ver se
Passo 2
Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero em é
. Como
O vetor zero em
temos
, ou seja, a propriedade (i) está satisfeita.
Passo 3
Verificando fechamento sob soma:
Tomemos dois vetores arbitrários em , digamos
e
com
Tomemos dois vetores arbitrários em
Então a soma é
e
é soma de dois números racionais, logo racional. Assim
, e a propriedade (ii) também vale.
Passo 4
Verificando fechamento sob multiplicação escalar:
Escolha o vetor pois
. Agora tome um escalar irracional, por exemplo
. Então
Escolha o vetor
e
logo
. Portanto
não é fechado sob multiplicação escalar, violando a propriedade (iii).
Resposta
O conjunto
não é subespaço de
porque falha a condição de fechamento sob multiplicação por escalares.