Por que os seguintes subconjuntos não são subespaços de R^3 ?
(iii) W=(x, y, z) in R^3: x+y in Q.

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
W=(x,y,z)inR^3: x+yinQ
Queremos ver se W é um subespaço vetorial de R^3. Para isso precisamos checar três propriedades: (i) contém o vetor zero, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificando se o vetor zero está em W:
O vetor zero em R^3 é (0,0,0). Como
0+0=0inQ,
temos (0,0,0)in W, ou seja, a propriedade (i) está satisfeita.

Passo 3

Verificando fechamento sob soma:
Tomemos dois vetores arbitrários em W, digamos u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) com
x1+y1inQ e x2+y2inQ
Então a soma é u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) e
(x1+x2)+(y1+y2) =(x1+y1)+(x2+y2)
é soma de dois números racionais, logo racional. Assim u+vin W, e a propriedade (ii) também vale.

Passo 4

Verificando fechamento sob multiplicação escalar:
Escolha o vetor u=(1,0,0)in W pois 1+0=1inQ. Agora tome um escalar irracional, por exemplo alpha=raiz2. Então
alpha,u=(raiz2,0,0)
e
raiz2+0=raiz2notinQ,
logo alpha,unotin W. Portanto W não é fechado sob multiplicação escalar, violando a propriedade (iii).

Resposta

O conjunto W não é subespaço de R^3 porque falha a condição de fechamento sob multiplicação por escalares.

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