Verifique que os conjuntos munidos das operações abaixo são grupos abelianos.
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Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
, o conjunto dos números racionais não nulos, munido da operação de multiplicação, forma um grupo abeliano. Vamos usar a definição de grupo abeliano, que exige: fechamento, associatividade, elemento neutro, inversos e comutatividade.
Passo 2
Verificamos o fechamento: se
e
são elementos de
, então
e
. O produto
é um racional não nulo, pois a multiplicação de dois não nulos não pode dar zero. Logo,
Passo 3
Verificamos a associatividade: a multiplicação em
é associativa. Assim, para quaisquer
vale
Passo 4
Identificamos o elemento neutro: o número
está em
e satisfaz
para todo
. Portanto,
é o elemento identidade.
Passo 5
Mostramos a existência de inversos: dado
,
, o inverso multiplicitivo é
, que também é racional não nulo. De fato,
Passo 6
Verificamos a comutatividade: a multiplicação de racionais é comutativa, ou seja, para quaisquer
Resposta
Concluímos que
satisfaz todos os axiomas de grupo e ainda a comutatividade, logo é um grupo abeliano.