Verifique que os conjuntos munidos das operações abaixo são grupos abelianos.
(Q^*,);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que Q^*, o conjunto dos números racionais não nulos, munido da operação de multiplicação, forma um grupo abeliano. Vamos usar a definição de grupo abeliano, que exige: fechamento, associatividade, elemento neutro, inversos e comutatividade.

Passo 2

Verificamos o fechamento: se a e b são elementos de Q^*, então aneq0 e bneq0. O produto acdot b é um racional não nulo, pois a multiplicação de dois não nulos não pode dar zero. Logo,
a,binQ^*Longrightarrow acdot binQ^*

Passo 3

Verificamos a associatividade: a multiplicação em Q é associativa. Assim, para quaisquer a,b,cinQ^* vale
(acdot b)cdot c = acdot (bcdot c)

Passo 4

Identificamos o elemento neutro: o número 1 está em Q^* e satisfaz
1cdot a = ae acdot 1 = a
para todo ainQ^*. Portanto, 1 é o elemento identidade.

Passo 5

Mostramos a existência de inversos: dado ainQ^*, aneq0, o inverso multiplicitivo é tfrac1a, que também é racional não nulo. De fato,
acdot 1a = 1 e 1acdot a = 1

Passo 6

Verificamos a comutatividade: a multiplicação de racionais é comutativa, ou seja, para quaisquer a,binQ^*
acdot b = bcdot a

Resposta

Concluímos que l(Q^*,cdotr) satisfaz todos os axiomas de grupo e ainda a comutatividade, logo é um grupo abeliano.

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