Verificar, que um conjunto de vetores \left\{a_{1}=(-2,-1), a_{2}=(-1,1)\right\} é uma base do espaço \mathbb{R}^{2}. Encontrar nessa base coordenados de um vetor b=(2,-3) e encontrar nessa base uma matriz da transformação linear T(x, y)=(-3 x+y,-2 y). Justificar as suas respostas. pontos)
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
Verificar que o conjunto \{a_{1}=(-2,-1),\,a_{2}=(-1,1)\} é uma base de \mathbb{R}^{2}.
Encontrar as coordenadas de b=(2,-3) nessa base.
Determinar a matriz de T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por
T(x,y)=(-3x+y,\,-2y)
na base \{a_{1},a_{2}\}.
Para isso vamos usar:
Critério do determinante para base em \mathbb{R}^{2}.
Resolução de sistemas lineares para coordenadas.
Expressão de T(a_{j}) em coordenadas da base para montar a matriz.
Passo 2
Para mostrar que \{a_{1},a_{2}\} é base basta ver que são linearmente independentes, isto é, que o determinante da matriz cujas colunas são a_{1} e a_{2} é diferente de zero. Montamos
Da segunda equação c_{2}=-3+c_{1}\]. Substituindo na primeira:
\[-2c_{1}-(c_{1}-3)=2 \quad\Longrightarrow\quad -3c_{1}+3=2 \quad\Longrightarrow\quad c_{1}=\tfrac{1}{3},\]
e então
\[c_{2}=-3+\tfrac{1}{3}=-\tfrac{8}{3}.\]
Portanto, as coordenadas de \(b na base \{a_{1},a_{2}\} são
Da segunda vem (\beta=2+\alpha]. Substituindo na primeira: -2\alpha-(2+\alpha)=5 \;\Longrightarrow\;-3\alpha-2=5 \;\Longrightarrow\;\alpha=-\tfrac{7}{3},
Da segunda (\delta=-2+\gamma]. Substituindo na primeira: -2\gamma-(-2+\gamma)=4 \;\Longrightarrow\;-2\gamma+2-\gamma=4 \;\Longrightarrow\;-3\gamma=2 \;\Longrightarrow\;\gamma=-\tfrac{2}{3},