Verificar, que um conjunto de vetores \left\{a_{1}=(-2,-1), a_{2}=(-1,1)\right\} é uma base do espaço \mathbb{R}^{2}. Encontrar nessa base coordenados de um vetor b=(2,-3) e encontrar nessa base uma matriz da transformação linear T(x, y)=(-3 x+y,-2 y). Justificar as suas respostas. pontos)

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Verificar que o conjunto \{a_{1}=(-2,-1),\,a_{2}=(-1,1)\} é uma base de \mathbb{R}^{2}.
  2. Encontrar as coordenadas de b=(2,-3) nessa base.
  3. Determinar a matriz de T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por
T(x,y)=(-3x+y,\,-2y)
na base \{a_{1},a_{2}\}.
Para isso vamos usar:
  • Critério do determinante para base em \mathbb{R}^{2}.
  • Resolução de sistemas lineares para coordenadas.
  • Expressão de T(a_{j}) em coordenadas da base para montar a matriz.

Passo 2

Para mostrar que \{a_{1},a_{2}\} é base basta ver que são linearmente independentes, isto é, que o determinante da matriz cujas colunas são a_{1} e a_{2} é diferente de zero. Montamos
\det\begin{pmatrix} -2 & -1\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix} =(-2)\cdot1-(-1)\cdot(-1)=-2-1=-3\neq0.
Logo \{a_{1},a_{2}\} é base de \mathbb{R}^{2}.

Passo 3

Procuramos escalares c_{1},c_{2}\) tais que \[c_{1}a_{1}+c_{2}a_{2}=b,
ou seja,
c_{1}(-2,-1)+c_{2}(-1,1)=(2,-3).
Isto gera o sistema
\begin{cases} -2c_{1}-c_{2}=2,\\\\ -\,c_{1}+c_{2}=-3. \end{cases}
Da segunda equação c_{2}=-3+c_{1}\]. Substituindo na primeira: \[-2c_{1}-(c_{1}-3)=2 \quad\Longrightarrow\quad -3c_{1}+3=2 \quad\Longrightarrow\quad c_{1}=\tfrac{1}{3},\] e então \[c_{2}=-3+\tfrac{1}{3}=-\tfrac{8}{3}.\] Portanto, as coordenadas de \(b na base \{a_{1},a_{2}\} são
[b]_{\{a_{1},a_{2}\}}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[6pt]-\tfrac{8}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos T(a_{1})\) e expressamos em coordenadas da base. \[T(a_{1})=T(-2,-1)=\bigl(-3(-2)+(-1),\,-2(-1)\bigr)=(5,2).
Buscamos \alpha,\beta tais que
\alpha\,a_{1}+\beta\,a_{2}=(5,2),
isto é,
\begin{cases} -2\alpha-\beta=5,\\\\ -\,\alpha+\beta=2. \end{cases}
Da segunda vem (\beta=2+\alpha]. Substituindo na primeira:
-2\alpha-(2+\alpha)=5 \;\Longrightarrow\;-3\alpha-2=5 \;\Longrightarrow\;\alpha=-\tfrac{7}{3},
\beta=2+(-\tfrac{7}{3})=-\tfrac{1}{3}.
Logo
[T(a_{1})]_{\{a_{1},a_{2}\}} =\begin{pmatrix}-\tfrac{7}{3}\\[4pt]-\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculamos T(a_{2})\) e sua expressão na base: \[T(a_{2})=T(-1,1)=\bigl(-3(-1)+1,\,-2\cdot1\bigr)=(4,-2).
Procuramos \gamma,\delta tais que
\gamma\,a_{1}+\delta\,a_{2}=(4,-2),
ou seja,
\begin{cases} -2\gamma-\delta=4,\\\\ -\,\gamma+\delta=-2. \end{cases}
Da segunda (\delta=-2+\gamma]. Substituindo na primeira:
-2\gamma-(-2+\gamma)=4 \;\Longrightarrow\;-2\gamma+2-\gamma=4 \;\Longrightarrow\;-3\gamma=2 \;\Longrightarrow\;\gamma=-\tfrac{2}{3},
\delta=-2+(-\tfrac{2}{3})=-\tfrac{8}{3}.
Assim
[T(a_{2})]_{\{a_{1},a_{2}\}} =\begin{pmatrix}-\tfrac{2}{3}\\[4pt]-\tfrac{8}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 6

A matriz de T na base \{a_{1},a_{2}\} tem como colunas as coordenadas de T(a_{1}) e T(a_{2}). Logo
[T]_{\{a_{1},a_{2}\}}= \begin{pmatrix} -\tfrac{7}{3} & -\tfrac{2}{3}\\[6pt] -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{8}{3} \end{pmatrix}.]

Resposta

As coordenadas de b na base \{a_{1},a_{2}\} são
[b]_{\{a_{1},a_{2}\}} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]-\tfrac{8}{3}\end{pmatrix}.
A matriz de T nessa mesma base é
[T]_{\{a_{1},a_{2}\}} =\begin{pmatrix} -\tfrac{7}{3} & -\tfrac{2}{3}\\[6pt] -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{8}{3} \end{pmatrix}.]

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