Os seguintes valores foram obtidos para a determinação de cádmio numa amostra de poeira: 5,3 ; 5,1 ; 5,0 ; 4,2
\mu g^{-1}. O último valor deve ser rejeitado, considerando nível de confiança a 95 % ?
\mu g^{-1}. O último valor deve ser rejeitado, considerando nível de confiança a 95 % ?
Passo 1
O enunciado dá quatro medidas de cádmio obtidas numa amostra de poeira:
,
,
e
. A pergunta é: o último valor (
) deve ser rejeitado ao nível de confiança de
?\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
O que vamos testar e qual é a ideia (explicação didática e intuitiva): queremos verificar se
é um valor discrepante (outlier) em relação às outras três medições. Uma forma clássica e simples de fazer isso é usar o teste de Grubbs para um único outlier. Vou explicar a fórmula do teste, o que cada símbolo significa e por que ela faz sentido.\n
Fórmula do teste de Grubbs (estatística de teste):
Fórmula do teste de Grubbs (estatística de teste):
onde:
-
é o valor suspeito de outlier (aqui ), -
é a média aritmética da amostra, -
é o desvio padrão amostral (usando divisor ).\n
Intuição: comparamos a distância do valor suspeito à média () com a dispersão típica dos dados ( ). Se essa razão for muito grande, o ponto está longe demais e pode ser considerado outlier. Para decidir “muito grande” com rigor estatístico, comparamos com um valor crítico que depende de e do nível .
Passo 3
Cálculo da média
. Vou mostrar cada passo para você poder reproduzir na prova sem calculadora complexa:
Expliquei que somei todos os valores e dividi por
.
Passo 4
Cálculo do desvio padrão amostral
. Vou fazer passo a passo:
- calcular as diferenças
:
- elevar ao quadrado e somar:
- variância amostral (dividindo por
):
- desvio padrão:
Observação: usei divisor
porque é o desvio padrão amostral (estimador não viciado). No papel você pode manter
ou a aproximação
.
Passo 5
Cálculo da estatística de teste
para o valor suspeito
:
Mostrei a subtração (distância até a média) e a divisão pelo desvio padrão.
Passo 6
Determinar o valor crítico
para o teste de Grubbs com
e
. Esse valor é obtido em tabelas de Grubbs ou pela fórmula que envolve a distribuição
. Para não complicar com a fórmula do
aqui (porque os quantis ficam grandes para poucos graus de liberdade), uso o valor tabulado:
Interpretação: se
rejeitamos o dado como outlier ao nível de
; se
não rejeitamos.
Passo 7
Comparação e conclusão do teste (passo lógico final):
Como
, não há evidência estatística suficiente, ao nível de significância
(ou nível de confiança
), para rejeitar o valor
como outlier.\n
Comentário prático e encorajador: na prática isso quer dizer que, apesar de ser um pouco menor que os outros, essa diferença ainda pode acontecer por variação aleatória das medições; então na prova você deve apontar que não se rejeita o valor com 95% de confiança.
Comentário prático e encorajador: na prática isso quer dizer que, apesar de
Resposta
Não — o valor
não deve ser rejeitado ao nível de
.