Os seguintes valores foram obtidos para a determinação de cádmio numa amostra de poeira: 5,3 ; 5,1 ; 5,0 ; 4,2
\mu g^{-1}. O último valor deve ser rejeitado, considerando nível de confiança a 95 % ?

Passo 1

O enunciado dá quatro medidas de cádmio obtidas numa amostra de poeira: 5,3, 5,1, 5,0 e 4,2 \mu g^{-1}. A pergunta é: o último valor ( 4,2\\ \mu g^{-1}) deve ser rejeitado ao nível de confiança de 95\%?\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{dados ordenados: }4,2;\\\ 5,0;\\\ 5,1;\\\ 5,3\\ (\mu g^{-1})
\text{tamanho da amostra: }n=4
\text{nível de confiança (significância): }95\% \Rightarrow \alpha=0,05íçâ

Passo 2

O que vamos testar e qual é a ideia (explicação didática e intuitiva): queremos verificar se 4,2 é um valor discrepante (outlier) em relação às outras três medições. Uma forma clássica e simples de fazer isso é usar o teste de Grubbs para um único outlier. Vou explicar a fórmula do teste, o que cada símbolo significa e por que ela faz sentido.\n
Fórmula do teste de Grubbs (estatística de teste):
G = \frac{|x_i - \bar{x}|}{s}
onde:
  • x_i é o valor suspeito de outlier (aqui x_i=4,2),
  • \bar{x} é a média aritmética da amostra,
  • s é o desvio padrão amostral (usando divisor n-1).\n
    Intuição: comparamos a distância do valor suspeito à média ( |x_i-\bar{x}|) com a dispersão típica dos dados ( s). Se essa razão G for muito grande, o ponto está longe demais e pode ser considerado outlier. Para decidir “muito grande” com rigor estatístico, comparamos G com um valor crítico G_{\text{crit}} que depende de n e do nível \alpha.

Passo 3

Cálculo da média \bar{x}. Vou mostrar cada passo para você poder reproduzir na prova sem calculadora complexa:
\bar{x}=\frac{5,3+5,1+5,0+4,2}{4}=\frac{19,6}{4}=4,9\\ (\mu g^{-1})
Expliquei que somei todos os valores e dividi por n=4.

Passo 4

Cálculo do desvio padrão amostral s. Vou fazer passo a passo:
  1. calcular as diferenças x_j-\bar{x}:
5,3-4,9=0,4;\quad 5,1-4,9=0,2;\quad 5,0-4,9=0,1;\quad 4,2-4,9=-0,7
  1. elevar ao quadrado e somar:
0,4^2+0,2^2+0,1^2+(-0,7)^2=0,16+0,04+0,01+0,49=0,70
  1. variância amostral (dividindo por n-1):
s^2=\frac{0,70}{n-1}=\frac{0,70}{3}=\frac{7}{30}\approx0,233333
  1. desvio padrão:
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{7}{30}}\approx0,483
Observação: usei divisor n-1 porque é o desvio padrão amostral (estimador não viciado). No papel você pode manter \sqrt{7/30} ou a aproximação 0,483.

Passo 5

Cálculo da estatística de teste G para o valor suspeito x_i=4,2:
G=\frac{|x_i-\bar{x}|}{s}=\frac{|4,2-4,9|}{0,483}=\frac{0,7}{0,483}\approx1,449
Mostrei a subtração (distância até a média) e a divisão pelo desvio padrão.

Passo 6

Determinar o valor crítico G_{\text{crit}} para o teste de Grubbs com n=4 e \alpha=0,05. Esse valor é obtido em tabelas de Grubbs ou pela fórmula que envolve a distribuição t. Para não complicar com a fórmula do t aqui (porque os quantis ficam grandes para poucos graus de liberdade), uso o valor tabulado:
G_{\text{crit}}(n=4,\\ \alpha=0,05)\approx1,463.
Interpretação: se G>1,463 rejeitamos o dado como outlier ao nível de 5\%; se G\le1,463 não rejeitamos.

Passo 7

Comparação e conclusão do teste (passo lógico final):
G\approx1,449 \quad\text{e}\quad G_{\text{crit}}\approx1,463.
Como G < G_{\text{crit}}, não há evidência estatística suficiente, ao nível de significância \alpha=0,05 (ou nível de confiança 95\%), para rejeitar o valor 4,2\\ \mu g^{-1} como outlier.\n
Comentário prático e encorajador: na prática isso quer dizer que, apesar de 4,2 ser um pouco menor que os outros, essa diferença ainda pode acontecer por variação aleatória das medições; então na prova você deve apontar que não se rejeita o valor com 95% de confiança.

Resposta

Não — o valor 4,2\\ \mu g^{-1} não deve ser rejeitado ao nível de 95\%.

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