Uma solução de
é padronizada com biftalato de potássio. Quando se usa
de biftalato de potássio, o volume de NaOH gasto é
e quando se usa
, o volume gasto é
. Calcular o desvio padrão relativo do resultado em cada caso. Que massa deve ser preferida na padronização da solução de NaOH . Admite-se que o desvio padrão de uma leitura na balança é de
e o de uma leitura de menisco é de
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o que se segue.
Dados:
- Massa de biftalato de potássio usada no caso A:
. - Volume de NaOH gasto no caso A:
. - Massa de biftalato de potássio usada no caso B:
. - Volume de NaOH gasto no caso B:
. - Desvio padrão (incerteza tipo A) de uma leitura da balança:
. - Desvio padrão (incerteza da leitura de menisco) de uma leitura de volume:
. - Massa molar do biftalato de potássio (KHP, ácido mono-protônico) a usar:
(valor padrão que vamos assumir). - Observação importante do enunciado (implícita): a reação é estequiometricamente
entre KHP e NaOH, ou seja, cada mol de KHP consome 1 mol de NaOH.
O que se pede:
- Calcular o desvio padrão relativo (isto é, a incerteza padrão relativa,
) do resultado (concentração encontrada de NaOH) no caso em que se usou e no caso em que se usou . - Indicar qual massa deve ser preferida na padronização da solução de NaOH, com justificativa.
Passo 2
Modelo matemático da titulação e significado das variáveis.
- Seja
a massa de KHP usada (em gramas). Essa massa contém mol de KHP, onde é a massa molar do KHP em . - Como a reação é
, o número de mols de NaOH consumidos é igual a . - Se o volume de NaOH gasto foi
(em litros), a concentração encontrada de NaOH é
Aqui:
-
é a concentração de NaOH (em ), -
é a massa de KHP (em ), -
é a massa molar do KHP (em ), -
é o volume de NaOH usado (em ).
Passo 3
Como propagar incertezas (desvio padrão) para
.
- Vamos assumir que
é conhecida com erro desprezível. As incertezas relevantes são as da massa e do volume . - Para grandezas multiplicativas/divisões pequenas, a fórmula prática é: as variâncias relativas somam. Formalmente,
onde
é o desvio padrão absoluto da concentração,
é o desvio padrão da massa,
é o desvio padrão do volume (em mesmas unidades de
). Essa fórmula vem de derivação por diferenciais ou do tratamento logarítmico
. Vou usar essa forma porque é direta e muito usada em análises de erros de titulação.
- Explicando cada termo:
-
é a contribuição relativa da incerteza da balança. -
é a contribuição relativa da incerteza da leitura de menisco.
-
- Notar: assumimos que as incertezas são independentes e pequenas (modelo válido para erros instrumentais usuais).
Passo 4
Conversões de unidades e valores numéricos fixos a usar.
- Converter volumes de mL para L:
-
- Converter a incerteza de volume para litros:
-
- Em mL relativos: para
, . Para , .
-
- Incerteza da balança (já em g):
.
Passo 5
Cálculo do resultado (concentração) — caso A (
,
).
- Primeiro calculemos a concentração encontrada (só para contextualizar; o enunciado pedia o desvio relativo, mas é útil mostrar que o método devolve um valor próximo de
):
Calcule:
- Concentração:
(Nota: tanto para A quanto para B o valor numérico de
ficará igual porque
é proporcional nos dois casos.)
- Agora as contribuições relativas das incertezas:
- Aplicando a fórmula de propagação:
Calcule:
Logo
- Em percentual:
Passo 6
Cálculo do desvio relativo — caso B (
,
).
- Concentração (confirmando que é o mesmo valor numérico):
- Contribuições relativas:
- Propagação:
Calcule:
Logo
- Em percentual:
Passo 7
Interpretação e escolha da massa a preferir.
- Comparando os desvios relativos:
- Caso A (massa
): ( ). - Caso B (massa
): ( ).
- Caso A (massa
- Observação: a incerteza relativa da massa
domina a incerteza final; quanto maior a massa usada, menor a contribuição relativa do erro da balança. Assim, usar produz um resultado muito mais preciso (menor desvio relativo) do que usar . - Conclusão prática: deve-se preferir a massa maior (
) para padronizar a solução de NaOH, pois isso reduz a incerteza relativa do resultado.
Resposta
Preferir