Uma solução de \mathrm{NaOH} 0,10 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} é padronizada com biftalato de potássio. Quando se usa 0,800 \mathrm{~g} de biftalato de potássio, o volume de NaOH gasto é 40,00 \mathrm{~mL} e quando se usa 0,0800 \mathrm{~g}, o volume gasto é 4,00 \mathrm{~mL}. Calcular o desvio padrão relativo do resultado em cada caso. Que massa deve ser preferida na padronização da solução de NaOH . Admite-se que o desvio padrão de uma leitura na balança é de \pm 0,0001 \mathrm{~g} e o de uma leitura de menisco é de \pm 0,001 \mathrm{~mL}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o que se segue.
Dados:
  • Massa de biftalato de potássio usada no caso A: m_A = 0,800\\ \mathrm{g}.
  • Volume de NaOH gasto no caso A: V_A = 40,00\\ \mathrm{mL}.
  • Massa de biftalato de potássio usada no caso B: m_B = 0,0800\\ \mathrm{g}.
  • Volume de NaOH gasto no caso B: V_B = 4,00\\ \mathrm{mL}.
  • Desvio padrão (incerteza tipo A) de uma leitura da balança: s_m = \pm 0,0001\\ \mathrm{g}.
  • Desvio padrão (incerteza da leitura de menisco) de uma leitura de volume: s_{V(\text{mL})} = \pm 0,001\\ \mathrm{mL}.
  • Massa molar do biftalato de potássio (KHP, ácido mono-protônico) a usar: M = 204,22\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}} (valor padrão que vamos assumir).
  • Observação importante do enunciado (implícita): a reação é estequiometricamente 1:1 entre KHP e NaOH, ou seja, cada mol de KHP consome 1 mol de NaOH.
O que se pede:
  1. Calcular o desvio padrão relativo (isto é, a incerteza padrão relativa, s_c/c) do resultado (concentração encontrada de NaOH) no caso em que se usou 0,800\\ \mathrm{g} e no caso em que se usou 0,0800\\ \mathrm{g}.
  2. Indicar qual massa deve ser preferida na padronização da solução de NaOH, com justificativa.

Passo 2

Modelo matemático da titulação e significado das variáveis.
  • Seja m a massa de KHP usada (em gramas). Essa massa contém \dfrac{m}{M} mol de KHP, onde M é a massa molar do KHP em \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  • Como a reação é 1:1, o número de mols de NaOH consumidos é igual a \dfrac{m}{M}.
  • Se o volume de NaOH gasto foi V (em litros), a concentração encontrada de NaOH é
c \;=\; \frac{n}{V} \;=\; \frac{m}{M\,V}.
Aqui:
  • c é a concentração de NaOH (em \mathrm{mol\\ L^{-1}}),
  • m é a massa de KHP (em \mathrm{g}),
  • M é a massa molar do KHP (em \mathrm{g\\ mol^{-1}}),
  • V é o volume de NaOH usado (em \mathrm{L}).

Passo 3

Como propagar incertezas (desvio padrão) para c=\dfrac{m}{M V}.
  • Vamos assumir que M é conhecida com erro desprezível. As incertezas relevantes são as da massa m e do volume V.
  • Para grandezas multiplicativas/divisões pequenas, a fórmula prática é: as variâncias relativas somam. Formalmente,
\left(\frac{s_c}{c}\right)^2 \;=\; \left(\frac{s_m}{m}\right)^2 \;+\; \left(\frac{s_V}{V}\right)^2,
onde s_c é o desvio padrão absoluto da concentração, s_m é o desvio padrão da massa, s_V é o desvio padrão do volume (em mesmas unidades de V). Essa fórmula vem de derivação por diferenciais ou do tratamento logarítmico \ln c = \ln m - \ln V - \ln M. Vou usar essa forma porque é direta e muito usada em análises de erros de titulação.
  • Explicando cada termo:
    • \dfrac{s_m}{m} é a contribuição relativa da incerteza da balança.
    • \dfrac{s_V}{V} é a contribuição relativa da incerteza da leitura de menisco.
  • Notar: assumimos que as incertezas são independentes e pequenas (modelo válido para erros instrumentais usuais).

Passo 4

Conversões de unidades e valores numéricos fixos a usar.
  • Converter volumes de mL para L:
    • V_A = 40,00\\ \mathrm{mL} = 0,04000\\ \mathrm{L}.
    • V_B = 4,00\\ \mathrm{mL} = 0,00400\\ \mathrm{L}.
  • Converter a incerteza de volume para litros:
    • s_{V(\text{mL})}=0,001\\ \mathrm{mL} \Rightarrow s_V = 0,001\\ \mathrm{mL}\times 10^{-3}\\ \mathrm{L/mL} = 0,000001\\ \mathrm{L} = 1,0\times 10^{-6}\\ \mathrm{L}.
    • Em mL relativos: para V_A=40,00\\ \mathrm{mL}, \dfrac{s_V}{V_A}=\dfrac{0,001}{40,00}. Para V_B=4,00\\ \mathrm{mL}, \dfrac{s_V}{V_B}=\dfrac{0,001}{4,00}.
  • Incerteza da balança (já em g): s_m = 0,0001\\ \mathrm{g}.

Passo 5

Cálculo do resultado (concentração) — caso A ( m_A=0,800\\ \mathrm{g}, V_A=40,00\\ \mathrm{mL}).
  • Primeiro calculemos a concentração encontrada (só para contextualizar; o enunciado pedia o desvio relativo, mas é útil mostrar que o método devolve um valor próximo de 0,10\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}):
n_A = \frac{m_A}{M} = \frac{0,800}{204,22} \\ \mathrm{mol}.
Calcule:
n_A \approx 0,0039169\\ \mathrm{mol}.
  • Concentração:
c_A = \frac{n_A}{V_A} = \frac{0,0039169}{0,04000} \approx 0,0979225\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
(Nota: tanto para A quanto para B o valor numérico de c ficará igual porque m/V é proporcional nos dois casos.)
  • Agora as contribuições relativas das incertezas:
\frac{s_m}{m_A} = \frac{0,0001}{0,800} = 1,25\times 10^{-4}.
\frac{s_V}{V_A} = \frac{0,001}{40,00} = 2,50\times 10^{-5}.
  • Aplicando a fórmula de propagação:
\left(\frac{s_{c_A}}{c_A}\right)^2 = (1,25\times 10^{-4})^2 + (2,50\times 10^{-5})^2.
Calcule:
(1,25\times 10^{-4})^2 = 1,5625\times 10^{-8},
(2,50\times 10^{-5})^2 = 6,25\times 10^{-10},
\left(\frac{s_{c_A}}{c_A}\right)^2 = 1,625\times 10^{-8}.
Logo
\frac{s_{c_A}}{c_A} = \sqrt{1,625\times 10^{-8}} \approx 1,273\times 10^{-4}.
  • Em percentual:
\frac{s_{c_A}}{c_A}\times 100\% \approx 0,01273\%.

Passo 6

Cálculo do desvio relativo — caso B ( m_B=0,0800\\ \mathrm{g}, V_B=4,00\\ \mathrm{mL}).
  • Concentração (confirmando que é o mesmo valor numérico):
n_B = \frac{m_B}{M} = \frac{0,0800}{204,22} \approx 0,00039169\\ \mathrm{mol},
c_B = \frac{n_B}{V_B} = \frac{0,00039169}{0,00400} \approx 0,0979225\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • Contribuições relativas:
\frac{s_m}{m_B} = \frac{0,0001}{0,0800} = 1,25\times 10^{-3}.
\frac{s_V}{V_B} = \frac{0,001}{4,00} = 2,50\times 10^{-4}.
  • Propagação:
\left(\frac{s_{c_B}}{c_B}\right)^2 = (1,25\times 10^{-3})^2 + (2,50\times 10^{-4})^2.
Calcule:
(1,25\times 10^{-3})^2 = 1,5625\times 10^{-6},
(2,50\times 10^{-4})^2 = 6,25\times 10^{-8},
\left(\frac{s_{c_B}}{c_B}\right)^2 = 1,625\times 10^{-6}.
Logo
\frac{s_{c_B}}{c_B} = \sqrt{1,625\times 10^{-6}} \approx 1,274\times 10^{-3}.
  • Em percentual:
\frac{s_{c_B}}{c_B}\times 100\% \approx 0,1274\%.

Passo 7

Interpretação e escolha da massa a preferir.
  • Comparando os desvios relativos:
    • Caso A (massa 0,800\\ \mathrm{g}): \dfrac{s_{c_A}}{c_A}\approx 1,273\times 10^{-4} ( \approx 0,01273\%).
    • Caso B (massa 0,0800\\ \mathrm{g}): \dfrac{s_{c_B}}{c_B}\approx 1,274\times 10^{-3} ( \approx 0,1274\%).
  • Observação: a incerteza relativa da massa \dfrac{s_m}{m} domina a incerteza final; quanto maior a massa usada, menor a contribuição relativa do erro da balança. Assim, usar 0,800\\ \mathrm{g} produz um resultado muito mais preciso (menor desvio relativo) do que usar 0,0800\\ \mathrm{g}.
  • Conclusão prática: deve-se preferir a massa maior ( 0,800\\ \mathrm{g}) para padronizar a solução de NaOH, pois isso reduz a incerteza relativa do resultado.

Resposta

\dfrac{s_{c_A}}{c_A} \approx 1,273\times 10^{-4} (ou 0,01273\%) para m=0,800\\ \mathrm{g}.
\dfrac{s_{c_B}}{c_B} \approx 1,274\times 10^{-3} (ou 0,1274\%) para m=0,0800\\ \mathrm{g}.
Preferir m=0,800\\ \mathrm{g} na padronização (maior massa → menor desvio relativo).

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