Seja W=(3 a+4 b-4 c, 2 a-4 b-6 c,-2 a-4 b+2 c) mid a, b, c in R um subespaço de R^3.
Determine uma base para W.

Passo 1

O enunciado define o subespaço de R^3
W=(3a+4b-4c,;2a-4b-6c,;-2a-4b+2c)mid a,b,cinR
Para resolver, vamos escrever W como espaço gerado por vetores e então escolher uma base.

Passo 2

Observamos que qualquer vetor em W é combinação linear de
v1=(3,2,-2),
v2=(4,-4,-4) e
v3=(-4,-6,2).
Logo
W=spanv1,v2,v3
Aqui o conteúdo é subespaço gerado e imagem de transformação linear.

Passo 3

Para verificar dependência linear, resolvemos
alpha v1+beta v2+gamma v3=(0,0,0)
Isto leva ao sistema
3alpha+4beta-4gamma=0, 2alpha-4beta-6gamma=0, -2alpha-4beta+2gamma=0
Da terceira equação vem alpha=gamma-2beta e da segunda gamma=-2beta, então alpha=-4beta. Há solução não trivial, logo dim(W)=2.

Passo 4

Para formar a base, escolhemos dois vetores independentes de v1,v2,v3. Verificamos que v1 e v2 são independentes porque
3x+4y=0, 2x-4y=0
só admite x=y=0. Além disso
v3=-2v1+tfrac12v2,
então v1,v2 gera todo W.

Resposta

Uma base para W é
(3,2,-2),;(4,-4,-4)

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