A seguir, estudaremos a aparente convergência de uma integral imprópria.
(b) Usando o item anterior, calcule
.
(b) Usando o item anterior, calcule
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao estudo da convergência de integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais definidas e aplicar o conceito de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a antiderivada da função
. A antiderivada é uma função cuja derivada é a função original. Nesse caso, podemos usar uma substituição simples.
Passo 3
Observamos que o numerador
é a derivada do denominador
. Então, fazemos a substituição:
Isso simplifica a integral.
Passo 4
Substituindo na integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 6
Calculamos a diferença:
Isso ocorre porque
é igual para
e
.
Passo 7
Finalmente, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
O limite
é igual a 0.