A seguir, estudaremos a aparente convergência de uma integral imprópria.
(b) Usando o item anterior, calcule lim t +infty integral-t^t 2 xx^2+1 d x.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo da convergência de integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais definidas e aplicar o conceito de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada da função . A antiderivada é uma função cuja derivada é a função original. Nesse caso, podemos usar uma substituição simples.

Passo 3

Observamos que o numerador u = x^2 + 1 Rightarrow du = 2x , dx é a derivada do denominador . Então, fazemos a substituição:
Isso simplifica a integral.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral 2xx^2+1 , dx = integral duu = ln|u| + C = ln(x^2 + 1) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de integral-t^t 2xx^2+1 , dx = [ ln(x^2 + 1) ]-t^t a :

Passo 6

Calculamos a diferença:
ln(t^2 + 1) - ln((-t)^2 + 1) = ln(t^2 + 1) - ln(t^2 + 1) = 0
Isso ocorre porque é igual para e .

Passo 7

Finalmente, calculamos o limite quando lim t +infty 0 = 0 tende ao infinito:

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados