Tendo-se quatro capacitores idénticos e uma bateria de 120 V . Sabe-se que quando apenas um dos capacitores está conectado a esta bateria a energia armazenada é
. Combine os quatro capacitores de tal forma que a energia total armazenada em todos os quatro capacitores seja
? (Sua resposta deve ser justificada).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem quatro capacitores iguais e uma bateria de 120 V. Quando a gente conecta só um capacitor nessa bateria, a energia armazenada é $ U_0 $. O desafio aqui é arranjar esses quatro capacitores de um jeito que, juntos, a energia total armazenada ainda seja $ U_0 $. Para resolver isso, vamos precisar entender como os capacitores se comportam quando estão em série e em paralelo, além de usar a fórmula da energia armazenada em um capacitor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da energia armazenada em um capacitor:
Onde:
- $ U $ é a energia armazenada,
- $ C $ é a capacitância,
- $ V $ é a voltagem aplicada.
Quando temos apenas um capacitor conectado na bateria de 120 V, a energia armazenada é $ U_0 $:
Passo 3
Agora, queremos conectar os quatro capacitores de forma que a energia total armazenada seja também $ U_0 $. Para isso, precisamos ajustar a capacitância total do conjunto de capacitores.
Sabemos que:
- Em série, a capacitância total diminui.
- Em paralelo, a capacitância total aumenta.
Como a energia depende da capacitância, vamos precisar encontrar uma combinação onde a capacitância total resultante reduz a energia total para $ U_0 $.
Passo 4
Vamos considerar uma combinação híbrida: alguns capacitores em série e outros em paralelo. Vamos supor que dois pares de capacitores estejam em série, e esses dois pares estejam em paralelo entre si.
Primeiro, calculamos a capacitância de dois capacitores em série:
Agora, temos dois capacitores com capacitância $ \frac{C}{2} $ cada, e eles estão em paralelo. A capacitância total em paralelo é a soma das capacitâncias:
Passo 5
Com a capacitância total sendo igual a $ C $, a energia armazenada com a bateria de 120 V seria:
Mas queremos que essa energia seja igual a $ U_0 = \frac{1}{2} C V^2 $. Assim, concluímos que essa combinação não altera a energia total, ou seja, permanece $ U_0 $.
Passo 6
Para garantir que a energia total armazenada nos quatro capacitores seja $ U_0 $, precisamos ajustar a voltagem que cada capacitor recebe. Ao conectar dois pares de capacitores em série e depois em paralelo, a voltagem em cada par é dividida, mantendo a energia total igual a $ U_0 $.
Resposta
A configuração ideal é conectar os quatro capacitores em dois pares, onde cada par está em série, e depois esses dois pares estão conectados em paralelo entre si. Dessa forma, a energia total armazenada em todos os quatro capacitores permanece $ U_0 $.