Segundo um radar,as velocidades( \mathrm{em} \mathrm{km} / \mathrm{h} )de uma amostra de vinte carros numa perimetral de São paulo no início de uma noite foram: \mathrm{V}=\{107.92 ; 107.78 ; 107.08 ; 111.29 ; 108.59 ; 113.60 ; 104.40 ; 109.50 ; 115.06 ; 111.92 ; 106.18 ; 107.80 ; 116.65;104.49;110.13;113.43;104.49;114.23;109.46;113.62}-Para cada item pedido escreva o estimador(a"fórmula").-Para quantis,apresente a fórmula adotada para localização da posição(índice).-Desenvolva por escrito a primeira linha do cálculo.-Apresente cada medida juntamente com sua unidade dimensional.
Qual o segundo quartil (também chamado de mediana, 5^{\circ} decil ou 50^{\circ} percentil) das velocidades medidas?

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n=20 velocidades (em \mathrm{km/h}) e pede o segundo quartil, isto é, a mediana ou 50^\circ percentil. Vamos trabalhar com estatística descritiva de dados ordenados e usar a definição de quantil para amostras finitas.

Passo 2

Para o k-ésimo quartil de uma amostra de tamanho n usa-se a posição
L = \frac{k\,(n+1)}{4}.
No caso do segundo quartil k=2:
L = \frac{2\,(n+1)}{4} = \frac{n+1}{2}.
Primeira linha de cálculo:
L = \frac{20 + 1}{2} = \frac{21}{2} = 10,5.

Passo 3

Ordenando as velocidades de forma crescente, obtemos:
104,40;\,104,49;\,104,49;\,106,18;\,107,08;\,107,78;\,107,80;\,107,92;\,108,59;\,\underbrace{109,46}_{x_{(10)}};\,\underbrace{109,50}_{x_{(11)}};\,110,13;\dots;116,65.
Como L=10,5, a mediana fica a meio caminho entre x_{(10)} e x_{(11)}:
Q_2 = x_{(10)} + 0,5\bigl(x_{(11)} - x_{(10)}\bigr) = \frac{x_{(10)} + x_{(11)}}{2} = \frac{109,46 + 109,50}{2} = 109,48.

Resposta

A mediana (segundo quartil) das velocidades é 109,48\\ \mathrm{km/h}.

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