- Seja
uma função contínua tal que
. Mostre que existe
tal que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua em
e satisfaz
, e pede para mostrar que existe
tal que
. Para isso vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, aplicando-o a uma função auxiliar construída a partir de
.
Passo 2
Definimos a função auxiliar
por
Como
é contínua em
, cada termo
e
é contínuo em
, logo
é contínua em
.
Passo 3
Calculamos os valores de
nos extremos:
Se
já temos
e basta escolher
. Se
, então
tem sinal oposto a
.
Passo 4
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como
é contínua em
e
e
têm sinais opostos (ou um deles é zero), existe
tal que
Daí
, ou seja,
.
Resposta
Existe
tal que
.