1. Seja f:[0,2] R uma função contínua tal que f(0)=f(2). Mostre que existe c in[0,1] tal que f(c+1)=f(c).

Passo 1

O enunciado diz que f é contínua em [0,2] e satisfaz f(0)=f(2), e pede para mostrar que existe cin[0,1] tal que f(c+1)=f(c). Para isso vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, aplicando-o a uma função auxiliar construída a partir de f.

Passo 2

Definimos a função auxiliar g:[0,1]toR por
g(x)=f(x+1)-f(x)
Como f é contínua em [0,2], cada termo f(x+1) e f(x) é contínuo em [0,1], logo g é contínua em [0,1].

Passo 3

Calculamos os valores de g nos extremos:
g(0)=f(1)-f(0), g(1)=f(2)-f(1)=f(0)-f(1)=-l(f(1)-f(0)r)=-g(0)
Se g(0)=0 já temos f(1)=f(0) e basta escolher c=0. Se g(0)neq0, então g(1)=-g(0) tem sinal oposto a g(0).

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como g é contínua em [0,1] e g(0) e g(1) têm sinais opostos (ou um deles é zero), existe cin[0,1] tal que
g(c)=0
Daí f(c+1)-f(c)=g(c)=0, ou seja, f(c+1)=f(c).

Resposta

Existe cin[0,1] tal que f(c+1)=f(c).

Exercícios relacionados