Seja f(x)=0.03 x^{3}-2 x+8 \operatorname{sen}(x+2)
. Utilizando o método da regula falsi (posição falsa), determine o valor aproximado da raiz \xi de f(x)=0 no intervalo [5,6], com erro absoluto abaixo de 0,01 e avaliação do módulo da função também abaixo de 0,01 . OBS: utilize uma aproximação de pelo menos 4 casas decimais.
\xi \approx \square
Se k=0 for o valor da primeira iteração realizada. Qual o valor final de k ? □

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=0{,}03x^{3}-2x+8\operatorname{sen}(x+2)
e pede uma aproximação da raiz \xi de f(x)=0 no intervalo [5,6] usando o método da regula falsi (posição falsa), com as duas condições de parada:
\– erro absoluto da aproximação abaixo de 0{,}01 (ou seja, |x_{\text{nova}}-x_{\text{antiga}}|<0{,}01);
\– avaliação do módulo da função também abaixo de 0{,}01 (ou seja, |f(x)|<0{,}01).
Foi dado que a primeira iteração será indexada por k=0. Devemos informar a aproximação \xi com pelo menos 4 casas decimais e o valor final de k.

Passo 2

Vou explicar o método da regula falsi (posição falsa) de forma direta e prática. Temos um intervalo [a,b] com f(a) e f(b) de sinais opostos (garantindo raiz por Bolzano). A regra dá a nova aproximação x como a interseção da reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x:
x = b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
Outra forma equivalente (interpolação linear) é
x=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Depois de calcular x verificamos o sinal de f(x):
\– se f(a)\cdot f(x)<0 então a raiz está em [a,x] e atualizamos b\leftarrow x;
\– se f(b)\cdot f(x)<0 então a raiz está em [x,b] e atualizamos a\leftarrow x.
Repetimos até satisfazer as condições de parada. Sempre que eu avaliar \operatorname{sen} de um ângulo grande, é prático reduzir o argumento subtraindo 2\pi até ficar em [0,2\pi) para facilitar a aproximação numérica.

Passo 3

Primeira checagem de sinais no intervalo inicial [5,6].
Calculemos f(5) e f(6).
Para x=5:
\begin{aligned} 0{,}03\cdot 5^{3} &= 0{,}03\cdot 125 = 3{,}75,\\\\ -2\cdot 5 &= -10,\\\ \operatorname{sen}(5+2)&=\operatorname{sen}(7). \end{aligned}
Como 7-2\pi\approx 0{,}716814693 e \operatorname{sen}(7)\approx 0{,}6569866, temos
8\operatorname{sen}(7)\approx 8\cdot 0{,}6569866\approx 5{,}2558928.
Logo
f(5)=3{,}75-10+5{,}2558928\approx -0{,}9941072.
Para x=6:
\begin{aligned} 0{,}03\cdot 6^{3} &= 0{,}03\cdot 216 = 6{,}48,\\\\ -2\cdot 6 &= -12,\\\ \operatorname{sen}(6+2)&=\operatorname{sen}(8). \end{aligned}
Como 8-2\pi\approx 1{,}716814693 e \operatorname{sen}(8)\approx 0{,}98935825, temos
8\operatorname{sen}(8)\approx 8\cdot 0{,}98935825\approx 7{,}914866.
Logo
f(6)=6{,}48-12+7{,}914866\approx 2{,}394866.
Observação importante: f(5) é negativo e f(6) é positivo, então há pelo menos uma raiz em [5,6]. Podemos aplicar regula falsi.

Passo 4

Usamos a=5, b=6, f(a)\approx -0{,}9941072, f(b)\approx 2{,}394866.
Aplicando a fórmula da regula falsi:
x = \frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)} = \frac{5\cdot 2{,}394866 - 6\cdot(-0{,}9941072)}{2{,}394866 - (-0{,}9941072)}
Calculando numericamente:
x \approx \frac{11{,}97433 + 5{,}9646432}{3{,}3889732} = \frac{17{,}9389732}{3{,}3889732}\approx 5{,}2935.
Portanto a aproximação da iteração k=0 é
x^{(0)}\approx 5{,}2935.
Agora avaliamos f(5{,}2935). Calculei
\begin{aligned} 0{,}03\cdot (5{,}2935)^{3} &\approx 4{,}4498975,\\\\ -2\cdot 5{,}2935 &=-10{,}587,\\\ \operatorname{sen}(5{,}2935+2)=\operatorname{sen}(7{,}2935)&\approx \sin(1{,}010314693)\approx 0{,}846997,\\\\ 8\operatorname{sen}(7{,}2935)&\approx 6{,}775976. \end{aligned}
Somando,
f(5{,}2935)\approx -6{,}1371025 + 6{,}775976 \approx 0{,}6388735.
Como f(5)\cdot f(5{,}2935)<0 (negativo \times positivo), a raiz está em [5,\,5{,}2935]. Atualizamos b\leftarrow 5{,}2935.
Conferência das tolerâncias: ainda não satisfeitas porque |x^{(0)}-b_{\text{antigo}}|=|5{,}2935-6|=0{,}7065>0{,}01 e |f(5{,}2935)|\approx 0{,}6389>0{,}01.

Passo 5

Intervalo atual [a,b]=[5,\;5{,}2935] com f(a)\approx -0{,}9941072, f(b)\approx 0{,}6388735.
Aplicando regula falsi:
x = b - f(b)\frac{b-a}{f(b)-f(a)} =5{,}2935 - 0{,}6388735\cdot\frac{0{,}2935}{0{,}6388735-(-0{,}9941072)}.
Denominador =0{,}6388735+0{,}9941072\approx 1{,}6329807. O numerador da fração dá aproximadamente 0{,}6388735\cdot 0{,}2935\approx 0{,}18750937. Dividindo:
\frac{0{,}18750937}{1{,}6329807}\approx 0{,}114852.
Então
x^{(1)}\approx 5{,}2935 - 0{,}114852 \approx 5{,}178648.
Agora avaliamos f(5{,}178648). Fiz os cálculos:
\begin{aligned} 0{,}03\cdot (5{,}178648)^{3} &\approx 4{,}1664910,\\\\ -2\cdot 5{,}178648 &\approx -10{,}357296,\\\ \operatorname{sen}(5{,}178648+2)=\operatorname{sen}(7{,}178648)&\approx \sin(0{,}8954628)\approx 0{,}7804979,\\\\ 8\operatorname{sen}(7{,}178648)&\approx 6{,}243983. \end{aligned}
Somando,
f(5{,}178648)\approx -6{,}1908052 + 6{,}243983 \approx 0{,}0531778.
Como f(5)\cdot f(5{,}178648)<0 (negativo \times positivo), a raiz está em [5,\,5{,}178648]. Atualizamos b\leftarrow 5{,}178648.
Conferência das tolerâncias: |x^{(1)}-x^{(0)}|=|5{,}178648-5{,}2935|\approx 0{,}11485>0{,}01. E |f(5{,}178648)|\approx 0{,}05318>0{,}01. Então continuamos.

Passo 6

Intervalo atual [a,b]=[5,\;5{,}178648] com f(a)\approx -0{,}9941072, f(b)\approx 0{,}0531778.
Aplicando regula falsi:
x = 5{,}178648 - 0{,}0531778\cdot\frac{0{,}178648}{0{,}0531778-(-0{,}9941072)}.
Denominador =0{,}0531778+0{,}9941072\approx 1{,}0472850. O numerador da fração é aproximadamente 0{,}0531778\cdot 0{,}178648\approx 0{,}0094991. Dividindo:
\frac{0{,}0094991}{1{,}0472850}\approx 0{,}009070.
Assim
x^{(2)}\approx 5{,}178648 - 0{,}009070 \approx 5{,}169578.
Avaliação de f(5{,}169578). Cálculo aproximado:
\begin{aligned} 0{,}03\cdot (5{,}169578)^{3} &\approx 4{,}144609,\\\\ -2\cdot 5{,}169578 &\approx -10{,}339156,\\\ \operatorname{sen}(5{,}169578+2)=\operatorname{sen}(7{,}169578)&\approx \sin(0{,}8863928)\approx 0{,}7747979,\\\\ 8\operatorname{sen}(7{,}169578)&\approx 6{,}198383. \end{aligned}
Somando as partes:
f(5{,}169578)\approx -6{,}194547 + 6{,}198383 \approx 0{,}003836.
Agora verifiquemos as condições de parada:
|x^{(2)}-x^{(1)}|\approx |5{,}169578-5{,}178648|\approx 0{,}009070 < 0{,}01,
e
|f(5{,}169578)|\approx 0{,}003836 < 0{,}01.
Portanto ambas as condições são satisfeitas na iteração k=2. Paramos aqui.
Observação sobre arredondamento: como foi pedido usar aproximação de pelo menos 4 casas decimais, apresento \xi com 4 casas decimais arredondadas.

Resposta

\xi \approx 5{,}1696
k=2

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