Seja
. Utilizando o método da regula falsi (posição falsa), determine o valor aproximado da raiz
de
no intervalo
, com erro absoluto abaixo de 0,01 e avaliação do módulo da função também abaixo de 0,01 . OBS: utilize uma aproximação de pelo menos 4 casas decimais.
Se
for o valor da primeira iteração realizada. Qual o valor final de
? □
. Utilizando o método da regula falsi (posição falsa), determine o valor aproximado da raiz
Se
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede uma aproximação da raiz
de
no intervalo
usando o método da regula falsi (posição falsa), com as duas condições de parada:
– erro absoluto da aproximação abaixo de
(ou seja,
);
– avaliação do módulo da função também abaixo de
(ou seja,
).
Foi dado que a primeira iteração será indexada por . Devemos informar a aproximação
com pelo menos 4 casas decimais e o valor final de
.
Foi dado que a primeira iteração será indexada por
Passo 2
Vou explicar o método da regula falsi (posição falsa) de forma direta e prática. Temos um intervalo
com
e
de sinais opostos (garantindo raiz por Bolzano). A regra dá a nova aproximação
como a interseção da reta que passa por
e
com o eixo
:
Outra forma equivalente (interpolação linear) é
Depois de calcular
verificamos o sinal de
:
– se
então a raiz está em
e atualizamos
;
– se
então a raiz está em
e atualizamos
.
Repetimos até satisfazer as condições de parada. Sempre que eu avaliar de um ângulo grande, é prático reduzir o argumento subtraindo
até ficar em
para facilitar a aproximação numérica.
Repetimos até satisfazer as condições de parada. Sempre que eu avaliar
Passo 3
Primeira checagem de sinais no intervalo inicial
.
Calculemos
e
.
Para
:
Como
e
, temos
Logo
Para
:
Como
e
, temos
Logo
Observação importante:
é negativo e
é positivo, então há pelo menos uma raiz em
. Podemos aplicar regula falsi.
Passo 4
Usamos
,
,
,
.
Aplicando a fórmula da regula falsi:
Aplicando a fórmula da regula falsi:
Calculando numericamente:
Portanto a aproximação da iteração
é
Agora avaliamos
. Calculei
Somando,
Como
(negativo
positivo), a raiz está em
. Atualizamos
.
Conferência das tolerâncias: ainda não satisfeitas porque
e
.
Passo 5
Intervalo atual
com
,
.
Aplicando regula falsi:
Denominador
. O numerador da fração dá aproximadamente
. Dividindo:
Então
Agora avaliamos
. Fiz os cálculos:
Somando,
Como
(negativo
positivo), a raiz está em
. Atualizamos
.
Conferência das tolerâncias:
. E
. Então continuamos.
Passo 6
Intervalo atual
com
,
.
Aplicando regula falsi:
Denominador
. O numerador da fração é aproximadamente
. Dividindo:
Assim
Avaliação de
. Cálculo aproximado:
Somando as partes:
Agora verifiquemos as condições de parada:
e
Portanto ambas as condições são satisfeitas na iteração
. Paramos aqui.
Observação sobre arredondamento: como foi pedido usar aproximação de pelo menos 4 casas decimais, apresento
com 4 casas decimais arredondadas.