Questāo 5
Vale 1,00 ponto(s).
Seja
. Utilizando o método da bisseção, responda as questões a seguir. OBS: utilize uma aproximação de pelo menos 4 casas decimais.
Calcule o valor da raiz
de
no intervalo
, com erro absoluto abaixo de 0,01 e avaliação do módulo da função também abaixo de 0,01.
Seja
. Utilizando o método da bisseção, responda as questões a seguir. OBS: utilize uma aproximação de pelo menos 4 casas decimais.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a raiz
de
no intervalo
, usando o método da bisseção, com as duas condições de parada:
- erro absoluto menor que
; - valor absoluto da função
menor que .
Informações dadas e relevantes: o intervalo inicial ée a função está explicitada acima. A tarefa é aplicar bisseção até que ambas as condições sejam satisfeitas e dar a aproximação com pelo menos 4 casas decimais.
Passo 2
Pequena aula prática sobre o método da bisseção (passo a passo e por que funciona):
- Se
, existe pelo menos uma raiz em (teorema do valor intermediário). - Em cada iteração calculamos o ponto médio
- Avaliamos
. Se , a raiz está em ; caso contrário, está em . Repetimos. - Erro absoluto garantido: após
iterações a metade do comprimento do intervalo é
portanto basta fazer iterações até que essa quantidade seja menor que a tolerância desejada (aqui
). Para
(comprimento inicial
) exige-se
. Isso dá
iterações para garantir erro menor que
. Como além do erro precisamos também
, vamos iterar até satisfazer as duas condições e mostrar todos os cálculos.
Passo 3
Verificação inicial de sinal nos extremos do intervalo:
- Calculamos
. Temos , então . Também . E , multiplicando por obtemos . Somando:
- Calculamos
. Temos , . . , então . Assim
Como
(
), há pelo menos uma raiz em
e podemos aplicar a bisseção.
Passo 4
Iteração 1:
-
, . Ponto médio . - Avaliando
: , ; ; , então . Logo
- Como
é negativo e positivo, a raiz está em .
Passo 5
Iteração 2:
- Novo intervalo
. Ponto médio . - Avaliando
: , ; ; (aprox.), então . Logo
- Como
negativo e positivo, a raiz está em .
Passo 6
Iteração 3:
- Novo intervalo
. Ponto médio . - Avaliando
: , ; ; (aprox.), então . Logo
- Como
é negativo e positivo, a raiz está em .
Passo 7
Iteração 4:
- Novo intervalo
. Ponto médio . - Avaliando
: cálculo dos termos dá aproximadamente (detalhes: e usados na soma). Assim
- Como
e , a raiz está em .
Passo 8
Iteração 5:
- Novo intervalo
. Ponto médio . - Avaliando
: cálculos dão aproximadamente
- Como
e , a raiz está em .
Passo 9
Iteração 6:
- Novo intervalo
. Ponto médio . - Avaliando
: cálculos dão aproximadamente
- Como
e , a raiz está em . - Verificação do erro absoluto garantido pela bisseção: após 6 iterações a meia-quantidade do intervalo é
ou seja, a condição de erro absoluto já está satisfeita. Ainda falta verificar
, que não é satisfeita aqui porque
. Prosseguimos.
Passo 10
Iteração 7:
- Novo intervalo
. Ponto médio . - Avaliando
: encontramos aproximadamente
- Como
e , a raiz está em .
Passo 11
Iteração 8 (parada, pois ambas as condições serão satisfeitas):
- Novo intervalo
. Ponto médio
- Avaliando
com os termos calculados (veja desenvolvimento numérico curto: , vezes isso é ; ; e ), obtemos
- Verificações de parada:
- erro absoluto pelo critério da bisseção: metade do comprimento do novo intervalo é
; - valor da função:
.
- erro absoluto pelo critério da bisseção: metade do comprimento do novo intervalo é
- Portanto, as duas condições pedidas estão satisfeitas em
. Podemos parar e tomar (tem mais de 4 casas decimais, como solicitado).