Questāo 5

Vale 1,00 ponto(s).
Seja f(x)=0.03 x^{3}-2 x+8 \operatorname{sen}(x+2)
. Utilizando o método da bisseção, responda as questões a seguir. OBS: utilize uma aproximação de pelo menos 4 casas decimais.
Calcule o valor da raiz \xi de f(x)=0 no intervalo [5,6], com erro absoluto abaixo de 0,01 e avaliação do módulo da função também abaixo de 0,01.
\xi=\square

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a raiz \xi de
f(x)=0{,}03x^{3}-2x+8\sin(x+2)
no intervalo [5,6], usando o método da bisseção, com as duas condições de parada:
  1. erro absoluto menor que 0{,}01;
  2. valor absoluto da função |f(\xi)| menor que 0{,}01.
    Informações dadas e relevantes: o intervalo inicial é [5,6] e a função está explicitada acima. A tarefa é aplicar bisseção até que ambas as condições sejam satisfeitas e dar a aproximação \xi com pelo menos 4 casas decimais.

Passo 2

Pequena aula prática sobre o método da bisseção (passo a passo e por que funciona):
  • Se f(a)\cdot f(b)<0, existe pelo menos uma raiz em [a,b] (teorema do valor intermediário).
  • Em cada iteração calculamos o ponto médio
m=\frac{a+b}{2}.
  • Avaliamos f(m). Se f(a)\cdot f(m)<0, a raiz está em [a,m]; caso contrário, está em [m,b]. Repetimos.
  • Erro absoluto garantido: após n iterações a metade do comprimento do intervalo é
\frac{b-a}{2^{\,n+1}},
portanto basta fazer iterações até que essa quantidade seja menor que a tolerância desejada (aqui 0{,}01). Para [5,6] (comprimento inicial 1) exige-se \frac{1}{2^{n+1}}<0{,}01. Isso dá n\ge 6 iterações para garantir erro menor que 0{,}01. Como além do erro precisamos também |f(m)|<0{,}01, vamos iterar até satisfazer as duas condições e mostrar todos os cálculos.

Passo 3

Verificação inicial de sinal nos extremos do intervalo:
  • Calculamos f(5). Temos 5^{3}=125, então 0{,}03\cdot125=3{,}75. Também -2\cdot5=-10. E \sin(5+2)=\sin(7)\approx0{,}6569865987, multiplicando por 8 obtemos 8\sin(7)\approx5{,}25589279. Somando:
f(5)\approx 3{,}75-10+5{,}25589279\approx -0{,}99410721.
  • Calculamos f(6). Temos 6^{3}=216, 0{,}03\cdot216=6{,}48. -2\cdot6=-12. \sin(6+2)=\sin(8)\approx0{,}9893582466, então 8\sin(8)\approx7{,}91486597. Assim
f(6)\approx6{,}48-12+7{,}91486597\approx 2{,}39486597.
Como f(5)\cdot f(6)<0 ( -0{,}994\cdot 2{,}395<0), há pelo menos uma raiz em [5,6] e podemos aplicar a bisseção.

Passo 4

Iteração 1:
  • a=5, b=6. Ponto médio m_{1}=\frac{5+6}{2}=5{,}5.
  • Avaliando f(5{,}5): 5{,}5^{3}=166{,}375, 0{,}03\cdot166{,}375=4{,}99125; -2\cdot5{,}5=-11; \sin(7{,}5)\approx0{,}9379999768, então 8\sin(7{,}5)\approx7{,}503999814. Logo
f(5{,}5)\approx4{,}99125-11+7{,}503999814\approx1{,}49524981>0.
  • Como f(5) é negativo e f(5{,}5) positivo, a raiz está em [5,5{,}5].

Passo 5

Iteração 2:
  • Novo intervalo [5,5{,}5]. Ponto médio m_{2}=5{,}25.
  • Avaliando f(5{,}25): 5{,}25^{3}=144{,}703125, 0{,}03\cdot144{,}703125=4{,}34109375; -2\cdot5{,}25=-10{,}5; \sin(7{,}25)\approx0{,}823550 (aprox.), então 8\sin(7{,}25)\approx6{,}5884. Logo
f(5{,}25)\approx4{,}34109375-10{,}5+6{,}5884\approx0{,}42949375>0.
  • Como f(5) negativo e f(5{,}25) positivo, a raiz está em [5,5{,}25].

Passo 6

Iteração 3:
  • Novo intervalo [5,5{,}25]. Ponto médio m_{3}=5{,}125.
  • Avaliando f(5{,}125): 5{,}125^{3}=134{,}611328125, 0{,}03\cdot134{,}611328125=4{,}03833984375; -2\cdot5{,}125=-10{,}25; \sin(7{,}125)\approx0{,}747028 (aprox.), então 8\sin(7{,}125)\approx5{,}976224. Logo
f(5{,}125)\approx4{,}03833984375-10{,}25+5{,}976224\approx -0{,}23543616<0.
  • Como f(5{,}125) é negativo e f(5{,}25) positivo, a raiz está em [5{,}125,5{,}25].

Passo 7

Iteração 4:
  • Novo intervalo [5{,}125,5{,}25]. Ponto médio m_{4}=5{,}1875.
  • Avaliando f(5{,}1875): cálculo dos termos dá aproximadamente 0{,}10095206 (detalhes: 5{,}1875^{3} e \sin(7{,}1875) usados na soma). Assim
f(5{,}1875)\approx0{,}10095206>0.
  • Como f(5{,}125)<0 e f(5{,}1875)>0, a raiz está em [5{,}125,5{,}1875].

Passo 8

Iteração 5:
  • Novo intervalo [5{,}125,5{,}1875]. Ponto médio m_{5}=5{,}15625.
  • Avaliando f(5{,}15625): cálculos dão aproximadamente
f(5{,}15625)\approx -0{,}065306\\ (<0).
  • Como f(5{,}15625)<0 e f(5{,}1875)>0, a raiz está em [5{,}15625,5{,}1875].

Passo 9

Iteração 6:
  • Novo intervalo [5{,}15625,5{,}1875]. Ponto médio m_{6}=5{,}171875.
  • Avaliando f(5{,}171875): cálculos dão aproximadamente
f(5{,}171875)\approx 0{,}017688\\ (>0).
  • Como f(5{,}15625)<0 e f(5{,}171875)>0, a raiz está em [5{,}15625,5{,}171875].
  • Verificação do erro absoluto garantido pela bisseção: após 6 iterações a meia-quantidade do intervalo é
\frac{1}{2^{6+1}}=\frac{1}{128}\approx0{,}0078125<0{,}01,
ou seja, a condição de erro absoluto já está satisfeita. Ainda falta verificar |f(m)|<0{,}01, que não é satisfeita aqui porque |f(5{,}171875)|\approx0{,}017688>0{,}01. Prosseguimos.

Passo 10

Iteração 7:
  • Novo intervalo [5{,}15625,5{,}171875]. Ponto médio m_{7}=5{,}1640625.
  • Avaliando f(5{,}1640625): encontramos aproximadamente
f(5{,}1640625)\approx -0{,}023833\\ (<0).
  • Como f(5{,}1640625)<0 e f(5{,}171875)>0, a raiz está em [5{,}1640625,5{,}171875].

Passo 11

Iteração 8 (parada, pois ambas as condições serão satisfeitas):
  • Novo intervalo [5{,}1640625,5{,}171875]. Ponto médio
m_{8}=\frac{5{,}1640625+5{,}171875}{2}=5{,}16796875.
  • Avaliando f(5{,}16796875) com os termos calculados (veja desenvolvimento numérico curto: 5{,}16796875^{3}\approx138{,}0256019, 0{,}03 vezes isso é \approx4{,}14076806; -2x\approx-10{,}3359375; e 8\sin(7{,}16796875)\approx6{,}1921008), obtemos
f(5{,}16796875)\approx -0{,}00306864.
  • Verificações de parada:
    • erro absoluto pelo critério da bisseção: metade do comprimento do novo intervalo é \frac{5{,}171875-5{,}1640625}{2}=0{,}00390625<0{,}01;
    • valor da função: |f(5{,}16796875)|\approx0{,}00306864<0{,}01.
  • Portanto, as duas condições pedidas estão satisfeitas em m_{8}=5{,}16796875. Podemos parar e tomar \xi\approx5{,}16796875 (tem mais de 4 casas decimais, como solicitado).

Resposta

\xi=5{,}16796875

Exercícios relacionados