Seja
. Calcule os limites superiores e inferiores das raízes positivas
e negativas
de
combinando a Regra de sinais de Descartes e o Teorema de Lagrange. OBS: utilize pelo menos três casas decimais.
□
. Calcule os limites superiores e inferiores das raízes positivas
□
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede: encontrar limites inferiores e superiores para as raízes positivas
e para as raízes negativas
, combinando a Regra de Descartes e o Teorema de Lagrange. Dados relevantes extraídos do enunciado:
tem coeficientes (do grau 6 ao grau 0):
. Note que o termo constante é
, ou seja,
é raiz (mas não é positiva nem negativa).
Não se pede multiplicidades específicas, apenas intervalos que contenham todas as raízes positivas e todas as raízes negativas.
Não se pede multiplicidades específicas, apenas intervalos que contenham todas as raízes positivas e todas as raízes negativas.
Passo 2
Aplicando a Regra de sinais de Descartes (explicando o resultado):
- Para as raízes positivas observamos as mudanças de sinal nos coeficientes de
: (mudança), (mudança), (sem mudança), (mudança), (sem mudança). Total de mudanças de sinal. Pela regra, o número de raízes reais positivas é igual a ou (reduzindo por múltiplos de 2). - Para as raízes negativas calculamos
. Substituindo temos
Os sinais dos coeficientes (do grau 6 ao 0) são
. As mudanças de sinal são:
(0),
(0),
(1),
(0),
(1). Total de
mudanças de sinal. Logo, o número de raízes reais negativas é
ou
.
Comentário rápido: a Regra de Descartes nos diz quantas raízes positivas/negativas existem em termos possíveis, mas não dá os intervalos; por isso vamos usar o Teorema (ou limite) de Lagrange para obter os limites numéricos.
Comentário rápido: a Regra de Descartes nos diz quantas raízes positivas/negativas existem em termos possíveis, mas não dá os intervalos; por isso vamos usar o Teorema (ou limite) de Lagrange para obter os limites numéricos.
Passo 3
Enunciando o Teorema de Lagrange (forma usada aqui) e como aplicá-lo — explicação didática:
- Seja um polinômio
com o coeficiente do maior grau . Para obter um limite superior para as raízes reais positivas, considere todos os coeficientes que são negativos. Para cada índice com calcula-se
O Teorema de Lagrange garante que todo
que satisfaça o polinômio está menor ou igual ao máximo desses valores. Em palavras: todas as raízes positivas estão abaixo de
- Para obter um limite inferior positivo (ou seja, uma cota inferior estrita >0 para todas as raízes positivas), aplicamos o mesmo teorema ao polinômio recíproco
. As raízes positivas desse polinômio recíproco são os reciprocos das raízes positivas de . Assim, um limite superior para esses dá, ao inverter, um limite inferior para as raízes de . - Analogamente, para as raízes negativas aplicamos o teorema a
para obter limites superiores para os módulos (valores absolutos) das raízes negativas; e usamos o polinômio recíproco de para obter o limite inferior do módulo (inverter depois dá cota inferior negativa).
Vou aplicar esta forma concreta do Teorema de Lagrange passo a passo aos nossos polinômios.
Passo 4
Cálculo do limite superior para as raízes positivas de
(aplicando Lagrange diretamente a
):
- Aqui
e . Identificamos os coeficientes negativos : são (k=5), (k=2), (k=1). Para cada um calculamos
- Para
: - Para
: Calculando , logo - Para
: - O máximo desses valores é
. Portanto, pelo Teorema de Lagrange, todo raiz de satisfaz
Assim obtemos a cota superior para as raízes positivas:
.
Passo 5
Cálculo do limite inferior para as raízes positivas de
(usando o polinômio recíproco):
- Formamos o polinômio recíproco
. Calculando:
As raízes positivas de
são
onde
são as raízes positivas de
.
- Para aplicar Lagrange preferimos que o coeficiente do maior grau seja positivo. Aqui o grau de
é (termo não nulo, coeficiente ). Multiplicamos por (isso não muda as raízes) e obtemos
Agora o coeficiente do maior grau é
. Aplicamos Lagrange aos coeficientes negativos de
: são
,
,
.
- Calculamos para cada
(grau ): -
Calculando , sua raiz quadrada . Assim -
-
-
- O máximo é
. Logo todo raiz de satisfaz . Como para raízes positivas de , temos
Portanto obtemos a cota inferior positiva:
. Concluímos que todas as raízes positivas de
estão no intervalo aproximado
Passo 6
Cálculo do limite superior para as raízes negativas de
(aplicando Lagrange a
):
- Lembrando,
. - Aplicando o Teorema de Lagrange com
e olhando coeficientes negativos de : (k=3) e (k=2). - Para cada
calculamos : -
O valor . Assim -
-
- O máximo é
. Isso significa que todo raiz de (que corresponde a raiz de em módulo) satisfaz
Assim todas as raízes negativas de
têm módulo menor ou igual a
, i.e. estão em
.
Passo 7
Cálculo do limite inferior (em módulo) para as raízes negativas de
(usar recíproco de
):
- Formamos
As raízes positivas de são os inversos dos módulos das raízes negativas de . - O coeficiente do grau mais alto é
. Os coeficientes negativos são (k=4) e (k=3). - Aplicando Lagrange:
- Para
- Para
(já calculado).
- Para
- O máximo é
. Logo todo raiz de satisfaz . Invertendo para obter a cota inferior em módulo das raízes negativas de :
Portanto todas as raízes negativas de
satisfazem
, ou seja
Passo 8
Resumo final das cotas (com três casas decimais ou mais, conforme pedido):
- Todas as raízes positivas
de satisfazem
- Todas as raízes negativas
de satisfazem