Seja
P(x)=2 x^{6}-6 x^{5}+7 x^{4}+33 x^{3}-54 x^{2}-67 x=0
. Calcule os limites superiores e inferiores das raízes positivas \left(\xi^{+}\right)e negativas \left(\xi^{-}\right)de P(x)=0 combinando a Regra de sinais de Descartes e o Teorema de Lagrange. OBS: utilize pelo menos três casas decimais.

\square \leq \xi^{-} \leq \square

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x)=2x^{6}-6x^{5}+7x^{4}+33x^{3}-54x^{2}-67x
e pede: encontrar limites inferiores e superiores para as raízes positivas \left(\xi^{+}\right) e para as raízes negativas \left(\xi^{-}\right), combinando a Regra de Descartes e o Teorema de Lagrange. Dados relevantes extraídos do enunciado:
\;P(x) tem coeficientes (do grau 6 ao grau 0): 2,\,-6,\,7,\,33,\,-54,\,-67,\,0. Note que o termo constante é 0, ou seja, x=0 é raiz (mas não é positiva nem negativa).
Não se pede multiplicidades específicas, apenas intervalos que contenham todas as raízes positivas e todas as raízes negativas.

Passo 2

Aplicando a Regra de sinais de Descartes (explicando o resultado):
  • Para as raízes positivas observamos as mudanças de sinal nos coeficientes de P(x): 2\to-6 (mudança), -6\to7 (mudança), 7\to33 (sem mudança), 33\to-54 (mudança), -54\to-67 (sem mudança). Total de 3 mudanças de sinal. Pela regra, o número de raízes reais positivas é igual a 3 ou 1 (reduzindo por múltiplos de 2).
  • Para as raízes negativas calculamos P(-x). Substituindo x\mapsto -x temos
P(-x)=2x^{6}+6x^{5}+7x^{4}-33x^{3}-54x^{2}+67x.
Os sinais dos coeficientes (do grau 6 ao 0) são +,+,+,-,-,+,0. As mudanças de sinal são: +\to+ (0), +\to+ (0), +\to- (1), -\to- (0), -\to+ (1). Total de 2 mudanças de sinal. Logo, o número de raízes reais negativas é 2 ou 0.
Comentário rápido: a Regra de Descartes nos diz quantas raízes positivas/negativas existem em termos possíveis, mas não dá os intervalos; por isso vamos usar o Teorema (ou limite) de Lagrange para obter os limites numéricos.

Passo 3

Enunciando o Teorema de Lagrange (forma usada aqui) e como aplicá-lo — explicação didática:
  • Seja um polinômio \displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_k x^k com o coeficiente do maior grau a_n>0. Para obter um limite superior para as raízes reais positivas, considere todos os coeficientes a_k que são negativos. Para cada índice k com a_k<0 calcula-se
1+\left(\frac{|a_k|}{a_n}\right)^{\!1/(n-k)}.
O Teorema de Lagrange garante que todo x>0 que satisfaça o polinômio está menor ou igual ao máximo desses valores. Em palavras: todas as raízes positivas estão abaixo de
1+\max_{a_k<0}\left(\frac{|a_k|}{a_n}\right)^{\!1/(n-k)}.
  • Para obter um limite inferior positivo (ou seja, uma cota inferior estrita >0 para todas as raízes positivas), aplicamos o mesmo teorema ao polinômio recíproco y^n P(1/y). As raízes positivas desse polinômio recíproco são os reciprocos y=1/x das raízes positivas de P. Assim, um limite superior para esses y dá, ao inverter, um limite inferior para as raízes x de P.
  • Analogamente, para as raízes negativas aplicamos o teorema a P(-x) para obter limites superiores para os módulos (valores absolutos) das raízes negativas; e usamos o polinômio recíproco de P(-x) para obter o limite inferior do módulo (inverter depois dá cota inferior negativa).
Vou aplicar esta forma concreta do Teorema de Lagrange passo a passo aos nossos polinômios.

Passo 4

Cálculo do limite superior para as raízes positivas de P(x) (aplicando Lagrange diretamente a P):
  • Aqui n=6 e a_6=2>0. Identificamos os coeficientes negativos a_k<0: são a_5=-6 (k=5), a_2=-54 (k=2), a_1=-67 (k=1). Para cada um calculamos
1+\left(\frac{|a_k|}{a_6}\right)^{1/(6-k)}.
  • Para k=5: \displaystyle 1+\left(\frac{6}{2}\right)^{1/(6-5)}=1+3^{1}=4.
  • Para k=2: \displaystyle 1+\left(\frac{54}{2}\right)^{1/(6-2)}=1+27^{1/4}. Calculando 27^{1/4}=3^{3/4}\approx 2{,}2795, logo 1+27^{1/4}\approx 3{,}2795.
  • Para k=1: \displaystyle 1+\left(\frac{67}{2}\right)^{1/(6-1)}=1+(33{,}5)^{1/5}\approx 1+2{,}0187\approx 3{,}0187.
  • O máximo desses valores é 4. Portanto, pelo Teorema de Lagrange, todo x>0 raiz de P(x)=0 satisfaz
x \le 4.
Assim obtemos a cota superior para as raízes positivas: 4.

Passo 5

Cálculo do limite inferior para as raízes positivas de P(x) (usando o polinômio recíproco):
  • Formamos o polinômio recíproco R(y)=y^{6}P(1/y). Calculando:
R(y)=2-6y+7y^{2}+33y^{3}-54y^{4}-67y^{5}.
As raízes positivas de R são y=1/x onde x são as raízes positivas de P.
  • Para aplicar Lagrange preferimos que o coeficiente do maior grau seja positivo. Aqui o grau de R é 5 (termo y^5 não nulo, coeficiente -67). Multiplicamos por -1 (isso não muda as raízes) e obtemos
S(y)=-R(y)=-2+6y-7y^{2}-33y^{3}+54y^{4}+67y^{5}.
Agora o coeficiente do maior grau é a_5=67>0. Aplicamos Lagrange aos coeficientes negativos de S: são a_3=-33, a_2=-7, a_0=-2.
  • Calculamos para cada k (grau =5):
    • k=3:\;1+\left(\dfrac{33}{67}\right)^{1/(5-3)}=1+\sqrt{\dfrac{33}{67}}. Calculando \dfrac{33}{67}\approx 0{,}4925373, sua raiz quadrada \approx 0{,}701810. Assim 1+\sqrt{33/67}\approx 1{,}701810.
    • k=2:\;1+\left(\dfrac{7}{67}\right)^{1/(5-2)}=1+(7/67)^{1/3}\approx 1+0{,}4705\approx 1{,}4705.
    • k=0:\;1+\left(\dfrac{2}{67}\right)^{1/(5-0)}=1+(2/67)^{1/5}\approx 1+0{,}4958\approx 1{,}4958.
  • O máximo é 1{,}701810. Logo todo y>0 raiz de S(y)=0 satisfaz y\le 1{,}701810. Como y=1/x para raízes positivas x de P, temos
x \ge \frac{1}{1{,}701810}\approx 0{,}587822.
Portanto obtemos a cota inferior positiva: x\gtrsim 0{,}587822. Concluímos que todas as raízes positivas de P estão no intervalo aproximado
0{,}587822 \le x \le 4.

Passo 6

Cálculo do limite superior para as raízes negativas de P(x) (aplicando Lagrange a P(-x)):
  • Lembrando, P(-x)=2x^{6}+6x^{5}+7x^{4}-33x^{3}-54x^{2}+67x.
  • Aplicando o Teorema de Lagrange com a_6=2 e olhando coeficientes negativos de P(-x): a_3=-33 (k=3) e a_2=-54 (k=2).
  • Para cada k calculamos 1+(|a_k|/a_6)^{1/(6-k)}:
    • k=3:\;1+\left(\dfrac{33}{2}\right)^{1/(6-3)}=1+(16{,}5)^{1/3}. O valor 16{,}5^{1/3}\approx 2{,}5457286. Assim 1+(16{,}5)^{1/3}\approx 3{,}545729.
    • k=2:\;1+\left(\dfrac{54}{2}\right)^{1/(6-2)}=1+27^{1/4}\approx 3{,}2795.
  • O máximo é 1+(16{,}5)^{1/3}\approx 3{,}545729. Isso significa que todo x>0 raiz de P(-x) (que corresponde a x<0 raiz de P em módulo) satisfaz
|x| \le 3{,}545729.
Assim todas as raízes negativas de P têm módulo menor ou igual a 3{,}545729, i.e. estão em [-3{,}545729,\,0).

Passo 7

Cálculo do limite inferior (em módulo) para as raízes negativas de P(x) (usar recíproco de P(-x)):
  • Formamos T(y)=y^{6}P(-1/y)=2+6y+7y^{2}-33y^{3}-54y^{4}+67y^{5}. As raízes positivas de T são os inversos dos módulos das raízes negativas de P.
  • O coeficiente do grau mais alto é a_5=67>0. Os coeficientes negativos são a_4=-54 (k=4) e a_3=-33 (k=3).
  • Aplicando Lagrange:
    • Para k=4:\;1+\left(\dfrac{54}{67}\right)^{1/(5-4)}=1+\dfrac{54}{67}=1{,}805970149\ldots
    • Para k=3:\;1+\sqrt{\dfrac{33}{67}}\approx 1{,}701810 (já calculado).
  • O máximo é 1{,}805970149. Logo todo y>0 raiz de T(y)=0 satisfaz y\le 1{,}805970149. Invertendo para obter a cota inferior em módulo das raízes negativas de P:
|x| \ge \frac{1}{1{,}805970149}\approx 0{,}553676.
Portanto todas as raízes negativas de P satisfazem |x|\ge 0{,}553676, ou seja
-3{,}545729 \le x \le -0{,}553676.

Passo 8

Resumo final das cotas (com três casas decimais ou mais, conforme pedido):
  • Todas as raízes positivas \xi^{+} de P(x)=0 satisfazem
0{,}587822 \le \xi^{+} \le 4{,}000000.
  • Todas as raízes negativas \xi^{-} de P(x)=0 satisfazem
-3{,}545729 \le \xi^{-} \le -0{,}553676.

Resposta

\;0{,}587822 \le \xi^{+} \le 4{,}000000
\;-3{,}545729 \le \xi^{-} \le -0{,}553676

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