Seja f(x)=x^{4}-5 x, x \in[-1,1]. Aproximar f(x) por um polinômio do segundo grau, usando o Método dos Mínimos Quadrados.
Resposta: p_{2}(x)=\frac{6}{7} x^{2}-5 x-\frac{3}{35}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{4}-5x no intervalo [-1,1] e pede uma aproximação por um polinômio de grau 2 pelo Método dos Mínimos Quadrados.
Informações relevantes:
  • Queremos um polinômio da forma p_{2}(x)=a x^{2}+b x+c, com a,b,c reais.
  • O critério dos mínimos quadrados contínuos é minimizar a função erro
E(a,b,c)=\int_{-1}^{1}\bigl(f(x)-p_{2}(x)\bigr)^{2}\,dx.
  • O objetivo é encontrar a,b,c que minimizam E.

Passo 2

Explicando o método (passo-a-passo e sem jargões):
Para aproximar f por p_{2} no sentido dos mínimos quadrados (no intervalo [-1,1]) usamos que o erro f-p_{2} deve ser orthogonal a todo elemento da base do espaço dos polinômios de grau ≤2. Tomando a base \{1,x,x^{2}\}, isso dá as equações normais
\int_{-1}^{1}\bigl(f(x)-p_{2}(x)\bigr)\cdot 1\,dx=0, \qquad \int_{-1}^{1}\bigl(f(x)-p_{2}(x)\bigr)\cdot x\,dx=0, \qquad \int_{-1}^{1}\bigl(f(x)-p_{2}(x)\bigr)\cdot x^{2}\,dx=0.
Essas três igualdades produzem um sistema linear em a,b,c. Vou agora escrever e calcular cada integral explicitamente.

Passo 3

Escrevendo as três equações explícitas (substituindo f e p_{2}):
\int_{-1}^{1}\bigl(x^{4}-5x - (a x^{2}+b x+c)\bigr)\,dx=0,
\int_{-1}^{1}\bigl(x^{4}-5x - (a x^{2}+b x+c)\bigr)\,x\,dx=0,
\int_{-1}^{1}\bigl(x^{4}-5x - (a x^{2}+b x+c)\bigr)\,x^{2}\,dx=0.
Agora calculamos cada uma usando propriedades básicas de integrais e simetrias.

Passo 4

Primeira equação (base 1). Calcular termo a termo:
\int_{-1}^{1} x^{4}\,dx = 2\int_{0}^{1} x^{4}\,dx = 2\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5},
\int_{-1}^{1} (-5x)\,dx = -5\int_{-1}^{1} x\,dx = -5\cdot 0 = 0\quad(\text{o integrando é ímpar}),éí
\int_{-1}^{1} (-a x^{2})\,dx = -a\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = -a\cdot 2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = -a\cdot\frac{2}{3} = -\frac{2}{3}a,
\int_{-1}^{1} (-b x)\,dx = -b\cdot 0 = 0\quad(\text{ímpar}), \quad \int_{-1}^{1} (-c)\,dx = -c\cdot 2 = -2c.í
Somando e impondo igual a zero:
\frac{2}{5}-\frac{2}{3}a-2c=0.
Multiplicando por 15 para limpar denominadores:
6-10a-30c=0 \quad\Longrightarrow\quad 5a+15c=3.
Chamaremos esta equação de (1):
\text{(1)}\qquad 5a+15c=3.

Passo 5

Segunda equação (base x). Calcular termo a termo:
\int_{-1}^{1} x^{4}\cdot x\,dx = \int_{-1}^{1} x^{5}\,dx = 0\quad(\text{ímpar}),í
\int_{-1}^{1} (-5x)\cdot x\,dx = -5\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = -5\cdot\frac{2}{3} = -\frac{10}{3},
\int_{-1}^{1} (-a x^{2})\cdot x\,dx = -a\int_{-1}^{1} x^{3}\,dx = 0\quad(\text{ímpar}),í
\int_{-1}^{1} (-b x)\cdot x\,dx = -b\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = -b\cdot\frac{2}{3},
\int_{-1}^{1} (-c)\cdot x\,dx = -c\int_{-1}^{1} x\,dx = 0\quad(\text{ímpar}).í
Somando e igualando a zero:
-\frac{10}{3}-\frac{2}{3}b=0.
Multiplicando por 3:
-10-2b=0 \quad\Longrightarrow\quad b=-5.
Então já temos b=-5. Observe que a parte ímpar de f (que é -5x) “forçou” b igual a -5 por simetria — isso era de se esperar.

Passo 6

Terceira equação (base x^{2}). Termo a termo:
\int_{-1}^{1} x^{4}\cdot x^{2}\,dx = \int_{-1}^{1} x^{6}\,dx = 2\int_{0}^{1} x^{6}\,dx = 2\cdot\frac{1}{7}=\frac{2}{7},
\int_{-1}^{1} (-5x)\cdot x^{2}\,dx = -5\int_{-1}^{1} x^{3}\,dx = 0\quad(\text{ímpar}),í
\int_{-1}^{1} (-a x^{2})\cdot x^{2}\,dx = -a\int_{-1}^{1} x^{4}\,dx = -a\cdot\frac{2}{5} = -\frac{2}{5}a,
\int_{-1}^{1} (-b x)\cdot x^{2}\,dx = -b\int_{-1}^{1} x^{3}\,dx = 0\quad(\text{ímpar}),í
\int_{-1}^{1} (-c)\cdot x^{2}\,dx = -c\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = -c\cdot\frac{2}{3} = -\frac{2}{3}c.
Somando e igualando a zero:
\frac{2}{7}-\frac{2}{5}a-\frac{2}{3}c=0.
Multiplicando por 105 (mínimo múltiplo de 7,5,3):
30-42a-70c=0 \quad\Longrightarrow\quad 21a+35c=15.
Chamaremos esta equação de (2):
\text{(2)}\qquad 21a+35c=15.

Passo 7

Resolver o sistema formado por (1) e (2):
\begin{cases} 5a+15c=3,\\[4pt] 21a+35c=15. \end{cases}
Da primeira equação isolamos a:
a = \frac{3}{5}-3c.
Substituindo na segunda:
21\Bigl(\frac{3}{5}-3c\Bigr)+35c=15.
Calcular:
\frac{63}{5}-63c+35c=15 \quad\Longrightarrow\quad \frac{63}{5}-28c=15.
Passando \frac{63}{5} para o outro lado:
-28c = 15-\frac{63}{5} = \frac{75-63}{5}=\frac{12}{5}.
Logo
c = -\frac{12}{5}\cdot\frac{1}{28} = -\frac{12}{140} = -\frac{3}{35}.
Agora a:
a = \frac{3}{5}-3\Bigl(-\frac{3}{35}\Bigr)=\frac{3}{5}+\frac{9}{35}=\frac{21}{35}+\frac{9}{35}=\frac{30}{35}=\frac{6}{7}.
Resumindo: a=\frac{6}{7}, b=-5, c=-\frac{3}{35}.]

Passo 8

Escrever o polinômio aproximante com os coeficientes encontrados:
p_{2}(x)=\frac{6}{7}x^{2}-5x-\frac{3}{35}.
Breta final rápida de intuição: como f tem parte par x^{4} e parte ímpar -5x, o ajuste de mínimos quadrados mantém a parte ímpar inteira em b=-5 e ajusta a,c para aproximar a parte par x^{4} pelo termo quadrático e constante na média quadrática sobre [-1,1].

Resposta

p_{2}(x)=\frac{6}{7}x^{2}-5x-\frac{3}{35}

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