Seja
. Aproximar
por um polinômio do segundo grau, usando o Método dos Mínimos Quadrados.
Resposta:
Passo 1
O enunciado dá a função
no intervalo
e pede uma aproximação por um polinômio de grau
pelo Método dos Mínimos Quadrados.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Queremos um polinômio da forma
, com reais. - O critério dos mínimos quadrados contínuos é minimizar a função erro
- O objetivo é encontrar
que minimizam .
Passo 2
Explicando o método (passo-a-passo e sem jargões):
Para aproximar por
no sentido dos mínimos quadrados (no intervalo
) usamos que o erro
deve ser orthogonal a todo elemento da base do espaço dos polinômios de grau ≤2. Tomando a base
, isso dá as equações normais
Para aproximar
Essas três igualdades produzem um sistema linear em
. Vou agora escrever e calcular cada integral explicitamente.
Passo 3
Escrevendo as três equações explícitas (substituindo
e
):
Agora calculamos cada uma usando propriedades básicas de integrais e simetrias.
Passo 4
Primeira equação (base
). Calcular termo a termo:
Somando e impondo igual a zero:
Multiplicando por
para limpar denominadores:
Chamaremos esta equação de (1):
Passo 5
Segunda equação (base
). Calcular termo a termo:
Somando e igualando a zero:
Multiplicando por
:
Então já temos
. Observe que a parte ímpar de
(que é
) “forçou”
igual a
por simetria — isso era de se esperar.
Passo 6
Terceira equação (base
). Termo a termo:
Somando e igualando a zero:
Multiplicando por
(mínimo múltiplo de
):
Chamaremos esta equação de (2):
Passo 7
Resolver o sistema formado por (1) e (2):
Da primeira equação isolamos
:
Substituindo na segunda:
Calcular:
Passando
para o outro lado:
Logo
Agora
:
Resumindo:
,
,
.]
Passo 8
Escrever o polinômio aproximante com os coeficientes encontrados:
Breta final rápida de intuição: como
tem parte par
e parte ímpar
, o ajuste de mínimos quadrados mantém a parte ímpar inteira em
e ajusta
para aproximar a parte par
pelo termo quadrático e constante na média quadrática sobre
.