Considere a função y=f(x) dada pela tabela:
x -1 0 1 2
y 0 -1 0 7
Ajustá-la por um polinômio do segundo grau, usando o Método dos Mínimos Quadrados.
Resposta: p_{2}(x)=2 x^{2}+\frac{1}{5} x-\frac{8}{5}

Passo 1

O enunciado pede que se ajuste por um polinômio de segundo grau, pelo Método dos Mínimos Quadrados, a função y=f(x) dada pela tabela. Os pontos fornecidos (peguei estes números da tabela) são:
(x_1,y_1)=(-1,0),\qquad (x_2,y_2)=(0,-1),\qquad (x_3,y_3)=(1,0),\qquad (x_4,y_4)=(2,7).
O que queremos encontrar é um polinômio quadrático
p_{2}(x)=a x^{2}+b x+c
cujo gráfico aproxime esses pontos em sentido de mínimos quadrados (ou seja, minimiza a soma dos quadrados dos erros). A incógnita final é o triplo de coeficientes (a,b,c).

Passo 2

Vou explicar o método de mínimos quadrados de forma direta e prática.
  • Definição de resíduo: para cada ponto (x_i,y_i) a diferença entre o valor observado y_i e o valor estimado pelo polinômio é o resíduo
r_i = y_i - p_{2}(x_i) = y_i - (a x_i^2 + b x_i + c).
  • Objetivo: escolher a,b,c que minimizem a soma dos quadrados dos resíduos
S(a,b,c)=\sum_{i=1}^{4} r_i^{2}=\sum_{i=1}^{4} \bigl(y_i - (a x_i^{2}+b x_i+c)\bigr)^{2}.
  • Como fazer isso na prática: derivamos S parcialmente em relação a a,b,c e igualamos a zero. Isso dá o sistema linear (as chamadas equações normais):
\begin{aligned} a\sum x_i^{4}+b\sum x_i^{3}+c\sum x_i^{2} &= \sum x_i^{2} y_i,\\[4pt] a\sum x_i^{3}+b\sum x_i^{2}+c\sum x_i &= \sum x_i y_i,\\[4pt] a\sum x_i^{2}+b\sum x_i + c\,n &= \sum y_i, \end{aligned}
onde n é o número de pontos ( n=4) e as somas são tomadas para i=1,\dots,4. Agora vamos calcular essas somas usando os pontos da tabela.]

Passo 3

Calcular as somas necessárias (peguei todos os x_i,y_i da tabela dada):
Primeiro monto potências de x_i e produtos com y_i:
\begin{aligned} x &: -1,\;0,\;1,\;2\\[2pt] x^{2} &: 1,\;0,\;1,\;4\\[2pt] x^{3} &: -1,\;0,\;1,\;8\\[2pt] x^{4} &: 1,\;0,\;1,\;16\\[2pt] y &: 0,\;-1,\;0,\;7 \end{aligned}
Agora as somas (mostro o cálculo para cada uma):
\begin{aligned} n &= 4,\\[4pt] \sum x_i &= (-1)+0+1+2 = 2,\\[4pt] \sum x_i^{2} &= 1+0+1+4 = 6,\\[4pt] \sum x_i^{3} &= (-1)+0+1+8 = 8,\\[4pt] \sum x_i^{4} &= 1+0+1+16 = 18,\\[4pt] \sum y_i &= 0+(-1)+0+7 = 6,\\[4pt] \sum x_i y_i &= (-1)\cdot 0 + 0\cdot(-1) + 1\cdot 0 + 2\cdot 7 = 14,\\[4pt] \sum x_i^{2} y_i &= 1\cdot 0 + 0\cdot(-1) + 1\cdot 0 + 4\cdot 7 = 28. \end{aligned}]

Passo 4

Substituo essas somas nas equações normais para obter o sistema numérico:
\begin{aligned} 18a + 8b + 6c &= 28,\\[4pt] 8a + 6b + 2c &= 14,\\[4pt] 6a + 2b + 4c &= 6. \end{aligned}
Esse é um sistema linear 3\times3 para a,b,c. Vou resolver por eliminação, passo a passo, sem pular contas.]

Passo 5

Eliminação — obtenho uma relação entre b e c.
Multiplico a terceira equação por 3:
3\cdot(6a+2b+4c)=18a+6b+12c=18.
Agora subtraio a primeira equação ( 18a+8b+6c=28) dessa linha:
(18a+6b+12c)-(18a+8b+6c)=18-28
o que dá
-2b+6c=-10.
Dividindo por -2,
b-3c=5\qquad\Rightarrow\qquad b=5+3c.

Passo 6

Uso b=5+3c na segunda equação para obter a em função de c.
Segunda equação:
8a+6b+2c=14.
Substituindo b:
8a+6(5+3c)+2c=14.
Calculo os termos:
8a+30+18c+2c=14 \quad\Rightarrow\quad 8a+30+20c=14.
Isolando a:
8a+20c=-16 \quad\Rightarrow\quad 2a+5c=-4 \quad\Rightarrow\quad a=-2-\tfrac{5}{2}c.

Passo 7

Substituo a e b (em função de c) na primeira equação para achar c.
Primeira equação:
18a+8b+6c=28.
Substituindo a=-2-\tfrac{5}{2}c e b=5+3c:
18\bigl(-2-\tfrac{5}{2}c\bigr) + 8(5+3c) + 6c = 28.
Faço as multiplicações:
18(-2) + 18\bigl(-\tfrac{5}{2}c\bigr) + 40 + 24c + 6c = 28.
-36 -45c + 40 + 30c = 28.
(Juntei 24c+6c=30c). Agora:
4 -15c = 28.
Isolando c:
-15c = 24 \quad\Rightarrow\quad c = -\tfrac{24}{15} = -\tfrac{8}{5}.

Passo 8

Com c=-\tfrac{8}{5} volto às expressões anteriores para achar b e a.
Para b:
b = 5 + 3c = 5 + 3\Bigl(-\tfrac{8}{5}\Bigr) = 5 - \tfrac{24}{5} = \tfrac{25-24}{5} = \tfrac{1}{5}.
Para a:
a = -2 - \tfrac{5}{2}c = -2 - \tfrac{5}{2}\Bigl(-\tfrac{8}{5}\Bigr) = -2 + \tfrac{8}{2} = -2 +4 = 2.
Portanto os coeficientes são a=2, b=\tfrac{1}{5}, c=-\tfrac{8}{5}.

Passo 9

Interpretação final rápida (pra te dar confiança): o polinômio obtido é
p_{2}(x)=2x^{2}+\tfrac{1}{5}x-\tfrac{8}{5}.
Ele é o polinômio quadrático que minimiza a soma dos quadrados dos desvios entre os valores da tabela e os valores estimados por p_{2}. As contas acima foram todas feitas sem calculadora, apenas com soma e eliminação linear básica — você consegue reproduzir isso na prova seguindo os mesmos passos.

Resposta

p_{2}(x)=2 x^{2}+\dfrac{1}{5} x-\dfrac{8}{5}

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