Considere a função
dada pela tabela:
-1
0
1
2
0
-1
0
7
Ajustá-la por um polinômio do segundo grau, usando o Método dos Mínimos Quadrados.
Resposta:
|
|
-1 | 0 | 1 | 2 |
|
|
0 | -1 | 0 | 7 |
Passo 1
O enunciado pede que se ajuste por um polinômio de segundo grau, pelo Método dos Mínimos Quadrados, a função
dada pela tabela. Os pontos fornecidos (peguei estes números da tabela) são:
O que queremos encontrar é um polinômio quadrático
cujo gráfico aproxime esses pontos em sentido de mínimos quadrados (ou seja, minimiza a soma dos quadrados dos erros). A incógnita final é o triplo de coeficientes
.
Passo 2
Vou explicar o método de mínimos quadrados de forma direta e prática.
- Definição de resíduo: para cada ponto
a diferença entre o valor observado e o valor estimado pelo polinômio é o resíduo
- Objetivo: escolher
que minimizem a soma dos quadrados dos resíduos
- Como fazer isso na prática: derivamos
parcialmente em relação a e igualamos a zero. Isso dá o sistema linear (as chamadas equações normais):
onde
é o número de pontos (
) e as somas são tomadas para
. Agora vamos calcular essas somas usando os pontos da tabela.]
Passo 3
Calcular as somas necessárias (peguei todos os
da tabela dada):
Primeiro monto potências de
e produtos com
:
Agora as somas (mostro o cálculo para cada uma):
Passo 4
Substituo essas somas nas equações normais para obter o sistema numérico:
Esse é um sistema linear
para
. Vou resolver por eliminação, passo a passo, sem pular contas.]
Passo 5
Eliminação — obtenho uma relação entre
e
.
Multiplico a terceira equação por
:
Agora subtraio a primeira equação (
) dessa linha:
o que dá
Dividindo por
,
Passo 6
Uso
na segunda equação para obter
em função de
.
Segunda equação:
Substituindo
:
Calculo os termos:
Isolando
:
Passo 7
Substituo
e
(em função de
) na primeira equação para achar
.
Primeira equação:
Substituindo
e
:
Faço as multiplicações:
(Juntei
). Agora:
Isolando
:
Passo 8
Com
volto às expressões anteriores para achar
e
.
Para
:
Para
:
Portanto os coeficientes são
,
,
.
Passo 9
Interpretação final rápida (pra te dar confiança): o polinômio obtido é
Ele é o polinômio quadrático que minimiza a soma dos quadrados dos desvios entre os valores da tabela e os valores estimados por
. As contas acima foram todas feitas sem calculadora, apenas com soma e eliminação linear básica — você consegue reproduzir isso na prova seguindo os mesmos passos.