Considere a função dada pela tabela
-8
-6
-4
-2
0
2
4
30
10
9
6
5
4
4
Qual das funções:
(a)
(b)
ajustaria melhor os dados da tabela?
Resposta:
|
|
-8 | -6 | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
|
|
30 | 10 | 9 | 6 | 5 | 4 | 4 |
(a)
(b)
ajustaria melhor os dados da tabela?
Resposta:
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com pares
e pergunta qual das duas funções sugere um melhor ajuste:
- Tabela de dados:
-
- Pergunta: dentre
- (a)
- (b)
qual ajusta melhor os dados da tabela?
Lista explícita do que temos: os sete paresacima. A resposta final pedida é apenas qual das duas formas é melhor para esses dados.
- (a)
Passo 2
Estratégia de resolução (sem inventar nada): linearizar cada modelo e ajustar por mínimos quadrados (regressão linear) à reta correspondente. Vou ensinar a teoria mínima para isso.
-
Ideia geral de linearização:
- Se
, então definindo obtemos a relação linear Ou seja, ajustar em função de por uma reta é equivalente a ajustar a forma (a). - Se
com , , tomando logaritmo natural obtemos que é também uma relação linear entre e . Ajustar em função de por uma reta dá os parâmetros do modelo (b).
- Se
-
Regressão linear por mínimos quadrados (fórmula):
- Para pontos
com , a reta ajustada por mínimos quadrados tem coeficientes - Aqui vou aplicar essa fórmula duas vezes: uma com
(modelo (a)) e outra com (modelo (b)).
- Para pontos
-
Para comparar os ajustes, usarei a soma dos quadrados dos resíduos (SSE)onde
é o valor previsto pelo modelo. Modelo com SSE menor fornece ajuste melhor (critério usual).
Passo 3
Aplicando o procedimento ao modelo (a):
.
- Defino
. Calculo a partir da tabela: - Calculos auxiliares (usar
):
- Coeficientes da regressão
:
- Assim a reta é
, e o modelo (a) ajustado é
Passo 4
Avaliação do ajuste do modelo (a): calcular predições, resíduos e SSE.
- Valores previstos
para cada (uso aproximações numéricas): - Resíduos
e seus quadrados: - Soma dos quadrados dos resíduos (SSE) para (a):
Passo 5
Aplicando o procedimento ao modelo (b):
.
- Tomo
. Calculos (valores aproximados): - Somas necessárias:
- Regressão
(onde , ):
- Portanto
e , isto é - Modelo (b) ajustado:
Passo 6
Avaliação do ajuste do modelo (b): predições, resíduos e SSE.
- Valores previstos
(aprox.): - Resíduos e quadrados:
- Soma dos quadrados dos resíduos (SSE) para (b):
Passo 7
Comparação e interpretação final:
- As duas linearizações foram feitas corretamente e os ajustes calculados numericamente.
- Critério SSE:
e . O modelo (a) tem SSE muito menor, ou seja, explica melhor os dados em termos de soma dos quadrados dos desvios. - Observação intuitiva também: os dados mostram uma queda de
que parece tender a um valor pequeno conforme cresce (por exemplo estabiliza em torno de 4 para ), comportamento que pode ser bem descrito por uma função do tipo inverso linear . O modelo exponencial dado ajusta pior principalmente nos pontos extremos. - Conclusão: o modelo (a) ajusta melhor os dados.
Força aí — você já tem o raciocínio pronto para justificar na prova: linearize, faça regressão linear e compare SSEs; aqui os cálculos mostram claramente que (a) é melhor.