Considere a função dada pela tabela
x -8 -6 -4 -2 0 2 4
y 30 10 9 6 5 4 4
Qual das funções:
(a) y(x)=\frac{1}{a+b x}
(b) y(x)=a b^{x}
ajustaria melhor os dados da tabela?
Resposta: y(x)=\frac{1}{a+b x}

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com pares (x,y) e pergunta qual das duas funções sugere um melhor ajuste:
  • Tabela de dados:
    • x:\\\ -8,\\\ -6,\\\ -4,\\\ -2,\\\ 0,\\\ 2,\\\ 4
    • y:\\\ 30,\\\ 10,\\\ 9,\\\ 6,\\\ 5,\\\ 4,\\\ 4
  • Pergunta: dentre
    • (a) y(x)=\dfrac{1}{a+b x}
    • (b) y(x)=a\,b^{x}
      qual ajusta melhor os dados da tabela?
      Lista explícita do que temos: os sete pares (x_i,y_i) acima. A resposta final pedida é apenas qual das duas formas é melhor para esses dados.

Passo 2

Estratégia de resolução (sem inventar nada): linearizar cada modelo e ajustar por mínimos quadrados (regressão linear) à reta correspondente. Vou ensinar a teoria mínima para isso.
  • Ideia geral de linearização:
    • Se y=\dfrac{1}{a+b x}, então definindo z=\dfrac{1}{y} obtemos a relação linear z = a + b x.Ou seja, ajustar z em função de x por uma reta é equivalente a ajustar a forma (a).
    • Se y=a\,b^{x} com a>0, b>0, tomando logaritmo natural obtemos w=\ln y = \ln a + x\ln b,que é também uma relação linear entre w e x. Ajustar w em função de x por uma reta dá os parâmetros do modelo (b).
  • Regressão linear por mínimos quadrados (fórmula):
    • Para pontos (x_i,u_i) com i=1,\dots,n, a reta u=\alpha+\beta x ajustada por mínimos quadrados tem coeficientes \beta = \frac{n\sum x_i u_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum u_i\right)}{n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2}, \qquad \alpha = \frac{1}{n}\left(\sum u_i - \beta\sum x_i\right).
    • Aqui vou aplicar essa fórmula duas vezes: uma com u=z=1/y (modelo (a)) e outra com u=w=\ln y (modelo (b)).
  • Para comparar os ajustes, usarei a soma dos quadrados dos resíduos (SSE)
    \text{SSE}=\sum_{i=1}^n (y_i-\hat y_i)^2,
    onde \hat y_i é o valor previsto pelo modelo. Modelo com SSE menor fornece ajuste melhor (critério usual).

Passo 3

Aplicando o procedimento ao modelo (a): y=\dfrac{1}{a+b x}.
  • Defino z_i=\dfrac{1}{y_i}. Calculo z_i a partir da tabela: \begin{array}{c|c} x_i & z_i=1/y_i\\hline -8 & 1/30 \approx 0,0333333\\\\ -6 & 1/10 = 0,1\\\\ -4 & 1/9 \approx 0,1111111\\\\ -2 & 1/6 \approx 0,1666667\\\\ 0 & 1/5 = 0,2\\\\ 2 & 1/4 = 0,25\\\\ 4 & 1/4 = 0,25 \end{array}
  • Calculos auxiliares (usar n=7): \sum x_i = -14,\qquad \sum x_i^2 = 140.
\sum z_i = 0,0333333+0,1+0,1111111+0,1666667+0,2+0,25+0,25 = 1,1111111\\ (=10/9).
\sum x_i z_i = (-8)\cdot0,0333333+(-6)\cdot0,1+(-4)\cdot0,1111111+(-2)\cdot0,1666667+0\cdot0,2+2\cdot0,25+4\cdot0,25
\sum x_i z_i \approx -0,2666667-0,6-0,4444444-0,3333333+0+0,5+1 = -0,1444444\\ \\ (= -13/90).
  • Coeficientes da regressão z=a+b x: b=\frac{7(-0,1444444)-(-14)(1,1111111)}{7\cdot140-(-14)^2} =\frac{14,5444444}{784}\approx 0,0185539,
a=\frac{1}{7}\Big(1,1111111 - b(-14)\Big)\approx \frac{1,1111111+0,2597546}{7}\approx 0,1958380.
  • Assim a reta é \displaystyle z\approx 0,1958380 + 0,0185539\,x, e o modelo (a) ajustado é \boxed{y(x)\approx \dfrac{1}{0,1958380 + 0,0185539\,x}.}

Passo 4

Avaliação do ajuste do modelo (a): calcular predições, resíduos e SSE.
  • Valores previstos \hat y_i para cada x_i (uso aproximações numéricas): \begin{array}{c|c|c} x_i & \text{denom }(=a+bx) & \hat y_i = 1/\text{denom}\\hline -8 & 0,0474068 & 21,089\\\\ -6 & 0,0845146 & 11,840\\\\ -4 & 0,1216224 & 8,223\\\\ -2 & 0,1587302 & 6,301\\\\ 0 & 0,1958380 & 5,106\\\\ 2 & 0,2329458 & 4,293\\\\ 4 & 0,2700536 & 3,703 \end{array}
  • Resíduos r_i = y_i-\hat y_i e seus quadrados: \begin{array}{c|c|c} x_i & r_i & r_i^2\\hline -8 & 30-21,089=8,911 & 79,44\\\\ -6 & 10-11,840=-1,840 & 3,39\\\\ -4 & 9-8,223=0,777 & 0,60\\\\ -2 & 6-6,301=-0,301 & 0,09\\\\ 0 & 5-5,106=-0,106 & 0,01\\\\ 2 & 4-4,293=-0,293 & 0,09\\\\ 4 & 4-3,703=0,297 & 0,09 \end{array}
  • Soma dos quadrados dos resíduos (SSE) para (a): \text{SSE}_a \approx 79,44+3,39+0,60+0,09+0,01+0,09+0,09 \approx 83,70.

Passo 5

Aplicando o procedimento ao modelo (b): y=a\,b^{x}.
  • Tomo w_i=\ln y_i. Calculos (valores aproximados): \begin{array}{c|c} x_i & w_i=\ln y_i\\hline -8 & \ln 30 \approx 3,4011974\\\\ -6 & \ln 10 \approx 2,3025851\\\\ -4 & \ln 9 \approx 2,1972246\\\\ -2 & \ln 6 \approx 1,7917595\\\\ 0 & \ln 5 \approx 1,6094379\\\\ 2 & \ln 4 \approx 1,3862944\\\\ 4 & \ln 4 \approx 1,3862944 \end{array}
  • Somas necessárias: \sum w_i \approx 14,0747932,\qquad \sum x_i = -14,\qquad \sum x_i w_i \approx -45,0797407.
  • Regressão w=\alpha+\beta x (onde \alpha=\ln a, \beta=\ln b): \beta=\frac{7(-45,0797407)-(-14)(14,0747932)}{784} \approx \frac{-118,5110818}{784}\approx -0,151157,
\alpha=\frac{1}{7}\big(14,0747932 - \beta(-14)\big)\approx 1,7083715.
  • Portanto \ln a\approx 1,7083715 e \ln b\approx -0,151157, isto é a\approx e^{1,7083715}\approx 5,517,\qquad b\approx e^{-0,151157}\approx 0,8597.
  • Modelo (b) ajustado: \boxed{y(x)\approx 5,517\cdot(0,8597)^{\,x}.}

Passo 6

Avaliação do ajuste do modelo (b): predições, resíduos e SSE.
  • Valores previstos \hat y_i (aprox.): \begin{array}{c|c} x_i & \hat y_i = 5,517\cdot 0,8597^{\,x_i}\\hline -8 & 18,49\\\\ -6 & 13,65\\\\ -4 & 10,09\\\\ -2 & 7,46\\\\ 0 & 5,517\\\\ 2 & 4,083\\\\ 4 & 3,017 \end{array}
  • Resíduos e quadrados: \begin{array}{c|c|c} x_i & r_i = y_i-\hat y_i & r_i^2\\hline -8 & 30-18,49=11,51 & 132,50\\\\ -6 & 10-13,65=-3,65 & 13,29\\\\ -4 & 9-10,09=-1,09 & 1,19\\\\ -2 & 6-7,46=-1,46 & 2,14\\\\ 0 & 5-5,517=-0,517 & 0,27\\\\ 2 & 4-4,083=-0,083 & 0,01\\\\ 4 & 4-3,017=0,983 & 0,97 \end{array}
  • Soma dos quadrados dos resíduos (SSE) para (b): \text{SSE}_b \approx 132,50+13,29+1,19+2,14+0,27+0,01+0,97 \approx 150,37.

Passo 7

Comparação e interpretação final:
  • As duas linearizações foram feitas corretamente e os ajustes calculados numericamente.
  • Critério SSE: \text{SSE}_a\approx 83,70 e \text{SSE}_b\approx 150,37. O modelo (a) tem SSE muito menor, ou seja, explica melhor os dados em termos de soma dos quadrados dos desvios.
  • Observação intuitiva também: os dados mostram uma queda de y que parece tender a um valor pequeno conforme x cresce (por exemplo y estabiliza em torno de 4 para x=2,4), comportamento que pode ser bem descrito por uma função do tipo inverso linear y=1/(a+bx). O modelo exponencial dado ajusta pior principalmente nos pontos extremos.
  • Conclusão: o modelo (a) ajusta melhor os dados.
Força aí — você já tem o raciocínio pronto para justificar na prova: linearize, faça regressão linear e compare SSEs; aqui os cálculos mostram claramente que (a) é melhor.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{a+b x}

Exercícios relacionados