Seja
. Determine funções
tais que
, sendo
uma função par e
uma função ímpar.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a função
como soma de uma parte par
e de uma parte ímpar
. Vamos usar o método geral de decomposição em partes par e ímpar:
Passo 2
Primeiro vamos calcular
. Substituindo
por
na função:
Passo 3
A definição das partes par e ímpar de qualquer função
é:
Passo 4
Aplicando em nosso caso, obtemos
e
e
e
Passo 5
Agora simplificamos
juntando os logaritmos:
Passo 6
Calculando o produto dentro do logaritmo:
Passo 7
logo
Passo 8
que é claramente uma função par, pois depende de potências pares de
.
Passo 9
Para
, juntamos a diferença dos logaritmos:
Passo 10
que satisfaz
e assim é ímpar.
Desse modo encontramos as duas funções que somam exatamente .
Desse modo encontramos as duas funções que somam exatamente
Resposta
h(x)=\tfrac12\ln\bigl(x4+x2+1\bigr),\quad g(x)=\tfrac12\ln!\bigl(\tfrac{x2+x+1}{x2-x+1}\bigr)