Seja h, g: R R. Determine funções f(x)=g(x)+h(x), forall x in R tais que h, sendo g uma função par e uma função ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a função f(x)=ln(x^2+x+1) como soma de uma parte par h(x) e de uma parte ímpar g(x). Vamos usar o método geral de decomposição em partes par e ímpar:

Passo 2

Primeiro vamos calcular f(-x). Substituindo x por -x na função:
f(-x)=lnl((-x)^2+(-x)+1r)=ln(x^2 - x + 1)

Passo 3

A definição das partes par e ímpar de qualquer função f é:
h(x)=f(x)+f(-x)2, g(x)=f(x)-f(-x)2

Passo 4

Aplicando em nosso caso, obtemos
h(x)=12l(ln(x^2+x+1)+ln(x^2 - x + 1)r)
e
e
e g(x)=12l(ln(x^2+x+1)-ln(x^2 - x + 1)r)

Passo 5

Agora simplificamos h(x) juntando os logaritmos:
h(x)=12lnl((x^2+x+1)(x^2 - x + 1)r)

Passo 6

Calculando o produto dentro do logaritmo:
(x^2+x+1)(x^2 - x + 1)=x^4 + x^2 +1,

Passo 7

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h(x)=12lnl(x^4 + x^2 + 1r),

Passo 8

que é claramente uma função par, pois depende de potências pares de x.

Passo 9

Para g(x), juntamos a diferença dos logaritmos:
g(x)=12ln!(x^2+x+1x^2 - x + 1),

Passo 10

que satisfaz g(-x)=-g(x) e assim é ímpar.
Desse modo encontramos as duas funções que somam exatamente f(x).

Resposta

h(x)=\tfrac12\ln\bigl(x4+x2+1\bigr),\quad g(x)=\tfrac12\ln!\bigl(\tfrac{x2+x+1}{x2-x+1}\bigr)

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