Seja F(x, y) = (-y / (x^2 + y^2), x / (x^2 + y^2) + 3x) um campo vetorial em R^2. Calcule a integral de linha do campo F ao longo das curvas C1 e C2, orientadas no sentido anti-horário, onde: C1 é a circunferência de equação x^2 + y^2 = 4.

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva , que é a circunferência de equação .
Matéria Envolvida:
  • Campos Vetoriais: Estudo de vetores que dependem da posição no espaço.
  • Integral de Linha: Calcula a soma de um campo vetorial ao longo de uma curva.
  • Parametrização de Curvas: Representação de curvas usando parâmetros, geralmente .
O que vamos precisar:
  • Saber como parametrizar a circunferência.
  • Calcular a integral de linha usando a parametrização.
  • Conhecer identidades trigonométricas básicas para integrar funções seno e cosseno.

Passo 2

Parametrizando a Curva
A curva é uma circunferência com raio (pois ). Podemos parametrizar essa circunferência usando o parâmetro variando de a :
Aqui, representa o ângulo no círculo e nos permite “andar” ao longo da curva.

Passo 3

Calculando os Componentes do Campo Vetorial na Curva
Vamos substituir e na expressão do campo vetorial :
Como , temos:
Simplificando:

Passo 4

Determinar o Diferencial
A derivada do vetor posição em relação a é:
Portanto, o diferencial é:

Passo 5

Calculando o Produto Escalar
Vamos multiplicar os componentes correspondentes de e :

Passo 6

Integrando ao Longo da Curva
A integral de linha fica:
Podemos separar as integrais:
Sabemos que:
Portanto:

Resposta

A integral de linha do campo ao longo da curva é igual a .

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