Seja
um campo vetorial em
. Calcule a integral de linha do campo
ao longo das curvas
e
, orientadas no sentido anti-horário, onde:
é a circunferência de equação
.
Passo 1
Entendendo o Problema
Vamos calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva
, que é a circunferência de equação
.
Matéria Envolvida:
- Campos Vetoriais: Estudo de vetores que dependem da posição no espaço.
- Integral de Linha: Calcula a soma de um campo vetorial ao longo de uma curva.
- Parametrização de Curvas: Representação de curvas usando parâmetros, geralmente
.
O que vamos precisar:
- Saber como parametrizar a circunferência.
- Calcular a integral de linha usando a parametrização.
- Conhecer identidades trigonométricas básicas para integrar funções seno e cosseno.
Passo 2
Parametrizando a Curva
A curva
é uma circunferência com raio
(pois
). Podemos parametrizar essa circunferência usando o parâmetro
variando de
a
:
Aqui,
representa o ângulo no círculo e nos permite “andar” ao longo da curva.
Passo 3
Calculando os Componentes do Campo Vetorial na Curva
Vamos substituir
e
na expressão do campo vetorial
:
Como
, temos:
Simplificando:
Passo 4
Determinar o Diferencial
A derivada do vetor posição
em relação a
é:
Portanto, o diferencial é:
Passo 5
Calculando o Produto Escalar
Vamos multiplicar os componentes correspondentes de
e
:
Passo 6
Integrando ao Longo da Curva
A integral de linha fica:
Podemos separar as integrais:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
A integral de linha do campo
ao longo da curva
é igual a
.